Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)分別為（不在坐標(biāo)軸上），若直線的橫縱截距分別為，求證：為定值

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由點(diǎn)在橢圓上列方程，結(jié)合即可求得，問題得解。

（2）設(shè)根據(jù)圓的切線可得，由此表示直線方程,將代入直線方程可得，同理可得，由此可得到兩點(diǎn)在直線上，即可求得直線的方程，由此表示出，結(jié)合即可證得結(jié)論，問題得解。

解：（1）將點(diǎn)代入橢圓的方程可得：，

又，解得：，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）可得：

設(shè)

∴可知是過作圓切線所產(chǎn)生的切點(diǎn)弦

設(shè)，由是切點(diǎn)可得：

∴

∴直線方程，代入：，

即 ，同理可知對于，有

因?yàn)?/span>在圓上

∴ ∴

∴為直線上的點(diǎn)

因?yàn)閮牲c(diǎn)確定唯一一條直線

∴直線方程，即

由截距式可知

∴

∵在橢圓上

∴

∴

即為定值