Question

附加題：
已知f（x）=x-

1

x

，
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）畫出該函數(shù)在定義域上的圖象．（圖象體現(xiàn)出函數(shù)性質(zhì)即可）

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

，結(jié)合已知可判斷f（x₁）＞f（x₂），從而可證
（2）f（x）=x-

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，為奇函數(shù)，f（1）=f（-1）=0，f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可畫出函數(shù)的圖象

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在（-∞，0）上遞增．…（1分）
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）
=(x1-x2)+

x1-x2

x1x2

=

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，1+x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(1+x1x2)

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)遞增…（8分）
（2）∵f（x）=x-

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且為奇函數(shù)，f（1）=f（-1）=0
f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增…（10分）
圖象如圖所示

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，畫出函數(shù)的圖象的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)