(附加題)已知f(x)是定義在R上單調(diào)函數(shù),對任意實(shí)數(shù)m,n有:f(m+n)=f(m)•f(n);且x>0時(shí),0<f(x)<1.
(1)證明:f(0)=1;
(2)證明:當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(3)當(dāng)f(4)=
1
16
時(shí),求使f(x2-1)•f(a-2x)≤
1
4
對任意實(shí)數(shù)x恒成立的參數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)令m>0,n=0,結(jié)合f(m+n)=f(m)•f(n),可證得f(0)=1;
(2)由f(m+n)=f(m)•f(n);且x>0時(shí),0<f(x)<1,令m=x<0,n=-x>0,結(jié)合(1)中f(0)=1,可證得當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及(2)中結(jié)論,可將抽象不等式f(x2-1)•f(a-2x)≤
1
4
具體化,進(jìn)而根據(jù)二次不等式恒成立問題,求出參數(shù)a的取值范圍.
解答:證明:(1)在f(m+n)=f(m)•f(n)中,
取m>0,n=0,
有f(m)=f(m)•f(0),
∵x>0時(shí),0<f(x)<1,
∴f(0)=1                                               …(2分)
(2)設(shè)m=x<0,n=-x>0,
則0<f(-x)<1,
∴f(m+n)=f(0)=f(x)•f(-x)=1
∴f(x)=
1
f(-x)•
>1,
即x<0時(shí),f(x)>1                                         …(5分)
解:(3)∵f(x)是定義在R上單調(diào)函數(shù),
又f(0)=1>f(4)=
1
16

∴f(x)是定義域R上的單調(diào)遞減函數(shù)                                                 …(6分)
f(4)=f2(2)=
1
16
,且由已知f(2)>0,
∴f(2)=
1
4
                                …(7分)
∴原不等式變?yōu)?span id="tlvr5jz" class="MathJye">f[(x2-1)+(a-2x)]≤
1
4
,
即f(x2-2x+a-1)≤f(2)…(8分)
∴f(x)是定義域R上的單調(diào)遞減函數(shù)可得,
x2-2x+a-1≥2對任意實(shí)數(shù)x恒成立
即x2-2x+a-3≥0對任意實(shí)數(shù)x恒成立
∴△=4-4(a-3)≤0,
∴a≥4                                                    …(10分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用,難度稍大,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

附加題:
已知f(x)=x-
1x
,
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)畫出該函數(shù)在定義域上的圖象.(圖象體現(xiàn)出函數(shù)性質(zhì)即可)

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(1)證明:f(0)=1;
(2)證明:當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(3)當(dāng)f(4)=
1
16
時(shí),求使f(x2-1)•f(a-2x)≤
1
4
對任意實(shí)數(shù)x恒成立的參數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)新會一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(附加題)已知f(x)是定義在R上單調(diào)函數(shù),對任意實(shí)數(shù)m,n有:f(m+n)=f(m)•f(n);且x>0時(shí),0<f(x)<1.
(1)證明:f(0)=1;
(2)證明:當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(3)當(dāng)時(shí),求使對任意實(shí)數(shù)x恒成立的參數(shù)a的取值范圍.

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附加題:
已知f(x)=x-,
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)畫出該函數(shù)在定義域上的圖象.(圖象體現(xiàn)出函數(shù)性質(zhì)即可)

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