Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在處的切線方程;

（2）若時(shí),恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入x=0，求得切線的斜率，又切線過(guò)（0，0），從而寫出切線方程.

（2）對(duì)f(x)進(jìn)行二次求導(dǎo)，得到在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，通過(guò)討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足條件的a的具體范圍即可；

（3）令a＝-2，可證得，從而證出結(jié)論．

（1），=1+1+a=2+a，又，在處的切線方程為y-0=，即.

（2）若時(shí), 則 ，

在上單調(diào)遞增，

則在上單調(diào)遞增，

① 當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，滿足題意

②若,由在上單調(diào)遞增

由于，，

故,使得. 則當(dāng) 時(shí),

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減. ∴,不恒成立.舍去

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增.

則,即. ∴. ∴,

即