Question

【題目】已知函數f（x）＝ex﹣1+alnx．（e為自然對數的底數），λ＝min{a+2，5}．（min{a，b}表示a，b中較小的數．）

（1）當a＝0時，設g（x）＝f（x）﹣x，求函數g（x）在[，]上的最值；

（2）當x1時，證明：f（x）+x2λ（x﹣1）+2．

Answer 1

【答案】（1）最大值為，最小值0；（2）詳見解析．

【解析】

（1）當a＝0時，化簡，通過g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，求出極值點，判斷函數的單調性，然后求解函數的極值以及函數的最值即可．

（2）①當a+25即a3時，λ＝a+2．f（x）+x2λ（x﹣1）+2ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a0，設k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，求出導函數，構造函數，通過函數的導數，判斷函數的單調性，結合a3，a＞3時，通過函數的最值，轉化證明即可．

解:（1）當a＝0時，，

則g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，得x＝1，

當x1時，g'（x）0；當x1時，g'（x）0，

所以函數g（x）在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

從而g（x）在上的最小值為g（1）＝0，

因為，，

所以，

從而g（x）在上的最大值為．

（2）①當a+25,即a3時，λ＝a+2．f（x）+x2λ（x﹣1）+2ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a0，

設k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，

則，

令，

則，

因為x1，

所以x2ex﹣1+2x2＝x2（ex﹣1+2）3，

因為a3，

所以φ'（x）0，當且僅當x＝1且a＝3時，等號成立．

從而k'（x）在[1，+∞）上單調遞增．

注意到k'（1）＝1，所以k'（x）0，從而k（x）在[1，+∞）上單調遞增，

注意到k（1）＝0，所以k（x）0，原不等式成立．

②當a+25即a＞3時，λ＝5,f（x）+x2λ（x﹣1）+2ex﹣1+alnx+x2﹣5x+30，

由（1）知ex﹣1x，及x1，a3，

所以ex﹣1+alnx+x2﹣5x+33lnx+x2﹣4x+3．

設h（x）＝3lnx+x2﹣4x+3，x1，

則，

所以h（x）在[1，+∞）上單調遞增，

注意到h（1）＝0，

所以h（x）0，原不等式成立．

綜上，當x1時，不等式f（x）+x2λ（x﹣1）+2成立．