Question

已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，
（Ⅰ）；(5分)
（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列，一定存在，使；(5分)
（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，求證：(6分)

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見解析;（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，可見由得出前項(xiàng)成等差數(shù)列，項(xiàng)以后奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，這樣結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)公式就可求出;（Ⅱ）以和為界對(duì)進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，顯然成立;當(dāng)時(shí)，由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系，不難得到;當(dāng)時(shí)，得，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)的情況，命題即可得證; （Ⅲ）由可得，根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出，進(jìn)而可得出=，又，由于要對(duì)分奇偶性，故可將相鄰兩整數(shù)當(dāng)作一個(gè)整體，要證不等式可進(jìn)行適當(dāng)放縮，要對(duì)分奇偶性，并結(jié)合數(shù)列求和的知識(shí)分別進(jìn)行證明即可．
試題解析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而= (3分)
=.       (5分)
（Ⅱ）證明：①若,則題意成立                 (6分)
②若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即.
設(shè),則當(dāng)時(shí),.
從而此時(shí)命題成立                    (8分)
③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立.
綜上所述,原命題成立                   (10分)
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240313449011280.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以=       (11分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031344948365.png" style="vertical-align:middle;" />>0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.
而
             (13分)
①當(dāng)時(shí),
  (15分)
②當(dāng)時(shí),由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立                      (16分)