【題目】已知,函數(shù)
(1)解關(guān)于的不等式;
(2)若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)由f(x)≤g(x),得x2+(2a+1)x≤ax,即x2+(a+1)x≤0.然后分a<﹣1,a=﹣1,a>﹣1三類求解不等式的解集;
(2)|f(x)|≥g(x)對任意實(shí)數(shù)x恒成立|x2+(2a+1)x|≥ax對任意實(shí)數(shù)x恒成立,當(dāng)a=0時,不等式|x2+(2a+1)x|≥ax對任意x∈R都成立;當(dāng)a>0時,分x∈(﹣∞,0]與x∈(0,+∞)分類分析;當(dāng)a<0時,不等式|x2+(2a+1)x|≥ax顯然不成立;當(dāng)a時,要使不等式|x2+(2a+1)x|≥ax恒成立,則t(x)=x2+2(a+1)x﹣ax>0在x∈(﹣∞,0)上恒成立.然后利用導(dǎo)數(shù)求解滿足條件的a的取值范圍.
(1)由f(x)≤g(x),得x2+(2a+1)x≤ax,即x2+(a+1)x≤0.
當(dāng)a<﹣1時,解得0≤x≤﹣a﹣1.當(dāng)a=﹣1時,解得x=0.當(dāng)a>﹣1時,解得﹣a﹣1≤x≤0.
∴當(dāng)a<﹣1時,不等式f(x)≤g(x)的解集為[0,﹣a﹣1];
當(dāng)a=﹣1時,不等式f(x)≤g(x)的解集為{0};
當(dāng)a>﹣1時,不等式f(x)≤g(x)的解集為[﹣a﹣1,0].
(2)|f(x)|≥g(x)對任意實(shí)數(shù)x恒成立|x2+(2a+1)x|≥ax對任意實(shí)數(shù)x恒成立,
當(dāng)a=0時,不等式|x2+(2a+1)x|≥ax對任意x∈R都成立;
當(dāng)a>0時,當(dāng)x∈(﹣∞,0]時,不等式|x2+(2a+1)x|≥ax成立,
當(dāng)x∈(0,+∞)時,令h(x)=x2+(2a+1)x﹣ax=x2+ax+x,h′(x)=2x+a+1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),則h(x)>h(0)=0,∴不等式|x2+(2a+1)x|≥ax成立,
∴當(dāng)a>0時,不等式|x2+(2a+1)x|≥ax成立;
當(dāng)
當(dāng)a時,要使不等式|x2+(2a+1)x|≥ax恒成立,
則只需不等式|x2+(2a+1)x|≥ax在x∈(﹣∞,0)上恒成立.
即t(x)=x2+2(a+1)x﹣ax>0在x∈(﹣∞,0)上恒成立.
∵t′(x)=2x+a+1,由2x+a+1=0,解得x,若﹣1<a,
則當(dāng)x∈(﹣∞,)時,t′(x)<0,當(dāng)x∈(,0)時,t′(x)>0,
∴x∈(﹣∞,0)時,,不合題意;
若a≤﹣1,則x∈(﹣∞,0)時,t′(x)≤0,t(x)為減函數(shù),則t(x)>t(0)=0.
綜上,不等式|f(x)|≥g(x)對任意實(shí)數(shù)x恒成立時a的取值范圍是(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時,求的零點(diǎn);
(2)若函數(shù)存在極小值點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:()的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線上任意一點(diǎn),過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(ii)當(dāng)最小時,求點(diǎn)T的坐標(biāo).
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對任意的,,,恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】大數(shù)據(jù)時代對于現(xiàn)代人的數(shù)據(jù)分析能力要求越來越高,數(shù)據(jù)擬合是一種把現(xiàn)有數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)方法來代入某條數(shù)式的表示方式,比如,,2,,n是平面直角坐標(biāo)系上的一系列點(diǎn),用函數(shù)來擬合該組數(shù)據(jù),盡可能使得函數(shù)圖象與點(diǎn)列比較接近.其中一種描述接近程度的指標(biāo)是函數(shù)的擬合誤差,擬合誤差越小越好,定義函數(shù)的擬合誤差為:.已知平面直角坐標(biāo)系上5個點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表:
x | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
y | 12 | 4 | 12 |
若用一次函數(shù)來擬合上述表格中的數(shù)據(jù),求該函數(shù)的擬合誤差的最小值,并求出此時的函數(shù)解析式;
若用二次函數(shù)來擬合題干表格中的數(shù)據(jù),求;
請比較第問中的和第問中的,用哪一個函數(shù)擬合題目中給出的數(shù)據(jù)更好?請至少寫出三條理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離之比為.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡;
(2)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B在軸的上方):
①當(dāng)A為橢圓與軸的正半軸的交點(diǎn)時,求直線的方程;
②對于動直線,是否存在一個定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=2cosθ,.
(1)求C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)若直線l與曲線C1,C2分別相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)M,N,求|MN|的最大值.
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【題目】垃圾分類是改善環(huán)境,節(jié)約資源的新舉措.住建部于6月28日擬定了包括我市在內(nèi)的46個重點(diǎn)試點(diǎn)城市,要求這些城市在2020年底基本建成垃圾分類處理系統(tǒng).為此,我市某中學(xué)對學(xué)生開展了“垃圾分類”有關(guān)知識的講座并進(jìn)行測試,將所得測試成績整理后,繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計測試的平均成績;
(2)將頻率視為相應(yīng)的概率,如果從參加測試的同學(xué)中隨機(jī)選取4名同學(xué),這4名同學(xué)中測試成績在的人數(shù)記為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知直線過點(diǎn),傾斜角為,在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的方程為.
(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),求的值.
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