【題目】如圖，要利用一半徑為的圓形紙片制作三棱錐形包裝盒.已知該紙片的圓心為，先以為中心作邊長(zhǎng)為（單位：）的等邊三角形，再分別在圓上取三個(gè)點(diǎn)，，，使，，分別是以，，為底邊的等腰三角形.沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合于點(diǎn)，即可得到正三棱錐.

（1）若三棱錐是正四面體，求的值；

（2）求三棱錐的體積的最大值，并指出相應(yīng)的值.

【答案】（1）（2）最大值為，此時(shí).

【解析】

（1）因?yàn)槿忮F是正四面體，所以是正三角形，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，算出，由即可得到答案；

（2）易得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值即可得到體積的最大值.

（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，

在中，， ，

則.

因?yàn)槿忮F是正四面體，

所以是正三角形，

所以，即，解得.

（2）在中，，，

所以高.

由可得，.

所以三棱錐的體積

.

設(shè)函數(shù)，，

則.

令得，.列表如下：

0

極大值

所以在時(shí)取最大值，

所以.

所以，所以.

所以三棱錐體積的最大值為，此時(shí).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】陽(yáng)馬和鱉臑（bienao）是《九章算術(shù)·商功》里對(duì)兩種錐體的稱(chēng)謂.如圖所示，取一個(gè)長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)模一樣的三棱柱，稱(chēng)為塹堵（如圖）.再沿其中一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，有一棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬（四棱錐）余下三棱錐稱(chēng)為鱉臑（三棱錐）若將某長(zhǎng)方體沿上述切割方法得到一個(gè)陽(yáng)馬一個(gè)鱉臑，且該陽(yáng)馬的正視圖和鱉臑的側(cè)視圖如圖所示，則可求出該陽(yáng)馬和鱉臑的表面積之和為（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對(duì)《中華人民共和國(guó)交通安全法》的了解情況，調(diào)查部門(mén)在該校進(jìn)行了一次問(wèn)卷調(diào)查（共12道題），從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，統(tǒng)計(jì)了每人答對(duì)的題數(shù)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成，，，，，六組，得到如下頻率分布直方圖.

（1）若答對(duì)一題得10分，未答對(duì)不得分，估計(jì)這40人的成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）若從答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰有1人答對(duì)題數(shù)在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年4月10日21時(shí)整，全球六地（上海和臺(tái)北、布魯塞爾、圣地亞哥、東京和華盛頓同時(shí)召開(kāi)新聞發(fā)布會(huì)，宣布人類(lèi)首次利用虛擬射電望遠(yuǎn)鏡，成功捕獲世界上首張黑洞圖像，公布的照片展示了一個(gè)中心為黑色的明亮環(huán)狀結(jié)構(gòu)，看上去有點(diǎn)像個(gè)橙色的甜甜圈，其黑色部分是黑洞投下的“陰影”，明亮部分是繞黑洞高速旋轉(zhuǎn)的吸積盤(pán).某同學(xué)作了一張黑洞示意圖，如圖所示，由兩個(gè)同心圓和半個(gè)同心圓環(huán)構(gòu)成圓及圓環(huán)的半徑從內(nèi)到外依次為2，3，4，5個(gè)單位在圖中隨機(jī)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．

（1）若曲線(xiàn)與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；

（2）為曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且，求的面積最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】改革開(kāi)放40多年來(lái)，城鄉(xiāng)居民生活從解決溫飽的物質(zhì)需求為主逐漸轉(zhuǎn)變到更多元化的精神追求，消費(fèi)結(jié)構(gòu)明顯優(yōu)化.下圖給出了1983~2017年部分年份我國(guó)農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出與恩格爾系數(shù)（恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重）統(tǒng)計(jì)圖.對(duì)所列年份進(jìn)行分析，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A.農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出呈增長(zhǎng)趨勢(shì)

B.農(nóng)村居民人均食品支出總額呈增長(zhǎng)趨勢(shì)

C.2011年至2015年農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出增長(zhǎng)最快

D.2015年到2017年農(nóng)村居民人均生活消費(fèi)支出增長(zhǎng)比率大于人均食品支出總額增長(zhǎng)比率

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種魚(yú)苗在魚(yú)塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚(yú)苗甲的自然成活率為0.8.魚(yú)苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚(yú)苗是否成活相互獨(dú)立.

（1）試驗(yàn)時(shí)從甲、乙，丙三種魚(yú)苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚(yú)苗較好，扶貧工作組決定購(gòu)買(mǎi)尾乙種魚(yú)苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，為提高魚(yú)苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實(shí)施對(duì)能夠自然成活的魚(yú)苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚(yú)苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚(yú)苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于37.6萬(wàn)元，問(wèn)需至少購(gòu)買(mǎi)多少尾乙種魚(yú)苗？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=，BC=AA1=2，O，M分別為BC，AA1的中點(diǎn).

（1）求證：OM∥平面CB1A1；

（2）求點(diǎn)M到平面CB1A1的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，，，求證．

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