Question

【題目】對于數(shù)集，其中， ，定義向量集．若對于任意，使得，則稱具有性質(zhì)．例如具有性質(zhì)．

（）若，且具有性質(zhì)，求的值．

（）若具有性質(zhì)，求證： ，且當(dāng)時， ．

（）若具有性質(zhì)，且， （為常數(shù)），求有窮數(shù)列， ， ， 的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）， ， ， ， ，

【解析】試題分析：（Ⅰ）由于具有該性質(zhì)，所以必有任意向量都存在垂直向量，可以求出值。

（Ⅱ）取，設(shè)滿足，可得， 、中之一為-1，另一為1，故1X，然后只要用反證法證明之間不存在即可；

（Ⅲ）可以利用后一項比前一項的比值建立數(shù)集，最終求出后一項與前一項比是定值，從而是等比數(shù)列.

試題解析：

（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.

所以x=2b，從而x=4.

（2）證明：取.設(shè)滿足.

由得，所以、異號.

因為-1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為-1，另一為1，

故1X.

假設(shè)，其中，則.

選取，并設(shè)滿足，即，

則、異號，從而、之中恰有一個為-1.

若=-1，則，矛盾；

若=-1，則，矛盾.

所以x1=1.

（3）設(shè)，，則等價于。

記，則數(shù)集具有性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集關(guān)于原點對稱。

注意到是中的唯一負(fù)數(shù)，共有個數(shù)，所以也只有個數(shù)。

由于，已有個數(shù)，對以下三角數(shù)陣，

，。

注意到，所以，從而數(shù)列的通項為。