【題目】某河道中過度滋長一種藻類,環(huán)保部門決定投入生物凈化劑凈化水體. 因技術原因,第t分鐘內投放凈化劑的路徑長度 (單位:m),凈化劑凈化水體的寬度 (單位:m)是時間t(單位:分鐘)的函數(shù): (由單位時間投放的凈化劑數(shù)量確定,設為常數(shù),且).

(1)試寫出投放凈化劑的第t分鐘內凈化水體面積的表達式;

(2)求的最小值.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)根據題意去掉絕對值寫出分段函數(shù)的表達式;(2)當40≤t≤60且tN*時,S(t)= 在40≤t≤60時單調遞減;當t=60時,S(t)有最小值2a2+120.當1≤t<40且tN*時,S(t)= ≥100+a2+20a;①若a=1或2或3時 S(t)在1≤t<40范圍中有最小值a2+2a +100.在40≤t≤60時S(t)有最小值2a2+120.當a=1時,100+a2+20a=121<122=2a2+120,故S(t)有最小值121;當a=2或a=3時,100+a2+20a>2a2+120,故S(t)有最小值2a2+120.②若a≥4且1≤t<40時, S(t+1)=100+a2+t+1+S(t)=100+a2+t+, S(t)在1≤t≤60時單調遞減.當t=60時,S(t)有最小值2a2+120.

試題解析:(1)由題意, .

(2)當40≤t≤60且tN*時,S(t)= ,當t增加時減少,

所以S(t)在40≤t≤60時單調遞減;當t=60時,S(t)有最小值2a2+120.

當1≤t<40且tN*時,S(t)= ≥100+a2+20a;

①若a=1或2或3時;當t=10a時,上述不等式中的等號成立,

S(t)在1≤t<40范圍中有最小值a2+2a +100.

又在40≤t≤60時S(t)有最小值2a2+120.

a=1時,100+a2+20a=121<122=2a2+120,故S(t)有最小值121;

a=2或a=3時,100+a2+20a>2a2+120,故S(t)有最小值2a2+120.

②若a≥4且1≤t<40時,因為≤0,

所以S(t+1)=100+a2+t+1+S(t)=100+a2+t+,

S(t)在1≤t≤40中單調遞減;又S(t)在40≤t≤60時單調遞減,

所以S(t)在1≤t≤60時單調遞減.

所以,當t=60時,S(t)有最小值2a2+120.

綜上,若a=1,當t=10時,S(t)有最小值121;即第10天的銷售額最少,為121千元.

a≥4且a∈N*,當t=60時,S(t)有最小值2a2+120.

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