【題目】定義為個正數、、、的“均倒數”.已知正項數列的前項的“均倒數”為.
(1)求數列的通項公式;
(2)設數列的前項和為,若對一切恒成立,試求實數的取值范圍;
(3)令,問:是否存在正整數使得對一切恒成立,如存在,求出值,否則說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,且.
【解析】
(1)設數列的前項和為,由題意可得,利用可求得數列的通項公式;
(2)求得,利用裂項法可求得,并得出,由題意可得,解此不等式即可得出實數的取值范圍;
(3)解法一:利用定義判斷數列的單調性,可求得數列的最大項,進而可求得的值;
解法二:解不等式可求得正整數的值.
(1)設數列的前項和為,
由于數列的前項的“均倒數”為,所以,,
當時,;
當時,.
也滿足,因此,對任意的,;
(2),
對一切恒成立,
所以,解之得或,
即的取值范圍是;
(3)解法一:,
由于,
當時,此時,數列單調遞增;當時,此時,數列單調遞減.
所以,當時,取得最大值,
即存在正整數使得對一切恒成立;
解法二:,
假設存在正整數使得,則為數列中的最大項,
由 得,解得,
又,,即存在正整數使得對一切恒成立
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校開展“我身邊的榜樣”評選活動,現對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票,投票要求詳見選票.這3名候選人的得票數(不考慮是否有效)分別為總票數的88%,75%,46%,則本次投票的有效率(有效票數與總票數的比值)最高可能為百分之________.
“我身邊的榜樣”評選選票 | ||
候選人 | 符號 | 注: 1.同意畫“○”,不同意畫“×”. 2.每張選票“○”的個數不超過2時才為有效票. |
甲 | ||
乙 | ||
丙 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在考察疫情防控工作中,某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動,從人居環(huán)境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設施等多個方面開展,特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習,提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查,隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是:(1)衛(wèi)生習慣狀況類;(2)垃圾處理狀況類;(3)體育鍛煉狀況類;(4)心理健康狀況類;(5)膳食合理狀況類;(6)作息規(guī)律狀況類.經過數據整理,得到下表:
衛(wèi)生習慣狀況類 | 垃圾處理狀況類 | 體育鍛煉狀況類 | 心理健康狀況類 | 膳食合理狀況類 | 作息規(guī)律狀況類 | |
有效答卷份數 | 380 | 550 | 330 | 410 | 400 | 430 |
習慣良好頻率 | 0.6 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.65 | 0.6 |
假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一,各類調查是否達到良好標準相互獨立.
(1)從小組收集的有效答卷中隨機選取1份,求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率;
(2)從該區(qū)任選一位居民,試估計他在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面,至少具備兩類良好習慣的概率;
(3)利用上述六類習慣調查的排序,用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者,“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者().寫出方差,,,,,的大小關系.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側棱底面, 垂直于和,為棱上的點,,.
(1)若為棱的中點,求證://平面;
(2)當時,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問條件下,設點是線段上的動點,與平面所成的角為,求當取最大值時點的位置.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查,每位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參與問卷調查的100人的得分(滿分:100分)數據,統計結果如表所示:
組別 | ||||||
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”,請完成答題卡中的列聯表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下,認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關?
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”.視頻率為概率.
①在我市所有“環(huán)保達人”中,隨機抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率;
②為了鼓勵市民關注環(huán)保,針對此次的調查制定了如下獎勵方案:“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動;其他參與的市民獲得一次抽獎活動.每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表:
紅包金額(單位:元) | 10 | 20 |
概率 |
現某市民要參加此次問卷調查,記(單位:元)為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額,求的分布列及數學期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,底面為菱形, , , 與相交于點,四邊形為直角梯形, , , ,平面底面.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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