Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，該橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)任作一直線交橢圓于，兩點(diǎn)，平面上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，且滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)的軌跡的方程為

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)，得到 的關(guān)系求橢圓的方程.

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)橹本�，，的斜率分別為，，，且滿足， 所以有，再利用韋達(dá)理化簡(jiǎn)求解.注意斜率不存在的情況的分析.

（1）因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

所以 ，

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

設(shè)，，，

聯(lián)立方程，

得，

由韋達(dá)定理得，

，，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

即，

所以或（舍去），

②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，

即為，此時(shí) ，

可知直線上任意一點(diǎn)亦滿足條件.

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.