【題目】某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識(shí)為題目設(shè)置了一項(xiàng)闖關(guān)游戲,共有15關(guān),每過(guò)一關(guān)可以得到一定的積分,現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一:每闖過(guò)一關(guān)均可獲得40積分;方案二:闖過(guò)第一關(guān)可獲得5積分,后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5;方案三:闖過(guò)第一關(guān)可獲得0.5積分,后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲,最終積分為闖過(guò)的各關(guān)的積分之和,設(shè)三種方案闖過(guò)n(且)關(guān)后的積分之和分別為,要求闖關(guān)者在開(kāi)始前要選擇積分方案.
(1)求出的表達(dá)式;
(2)為獲得盡量多的積分,如果你是一個(gè)闖關(guān)者,試分析這幾種積分方案該如何選擇?小明通過(guò)試驗(yàn)后覺(jué)得自己至少能闖過(guò)12關(guān),則他應(yīng)該選擇第幾種積分方案?
【答案】(1);;(2)見(jiàn)解析,小明應(yīng)該選擇方案三.
【解析】
(1)根據(jù)題意,分別得到各方案所對(duì)應(yīng)的數(shù)列,從而得到;
(2)令,分別得到的范圍,結(jié)合題意中的,從而做出判斷.
(1)按方案一闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成常數(shù)數(shù)列,故;
按方案二闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為5,公差為5的等差數(shù)列,故;
按方案三闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,故.
(2)令,即,解得,
而當(dāng)時(shí),,
又因?yàn)?/span>且,故恒成立,
故方案二不予考慮.
令,即,解得,
故有,當(dāng)時(shí),;當(dāng),,
故當(dāng)能闖過(guò)的關(guān)數(shù)小于10時(shí),應(yīng)選擇方案一;
當(dāng)能闖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí),應(yīng)選擇方案三.
小明應(yīng)該選擇方案三.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,該橢圓與軸正半軸交于點(diǎn),且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)任作一直線交橢圓于,兩點(diǎn),平面上有一動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線,,的斜率分別為,,,且滿足,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線過(guò)點(diǎn),并且與曲線相切,求直線的方程;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),其中,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于, 兩個(gè)不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于, 兩個(gè)不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C:()的左、右焦點(diǎn)分別是、,離心率為,過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接、,設(shè)的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn),求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)設(shè)直線、的斜率分別為、,若,試證明為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒(méi)有銀聯(lián)卡,顧客乙只帶了現(xiàn)金,顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以,這四名顧客購(gòu)物后,恰好用了其中的三種結(jié)賬方式,那么他們結(jié)賬方式的可能情況有( )種
A. 19B. 7C. 26D. 12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在直線下方,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展,某市教育局要求本市所有學(xué)校重視社團(tuán)文化建設(shè),2014年該市某中學(xué)的某新生想通過(guò)考核選撥進(jìn)入該校的“電影社”和“心理社”,已知該同學(xué)通過(guò)考核選撥進(jìn)入這兩個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立根據(jù)報(bào)名情況和他本人的才藝能力,兩個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為,至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為,并且進(jìn)入“電影社”的概率小于進(jìn)入“心理社”的概率
(Ⅰ)求該同學(xué)分別通過(guò)選撥進(jìn)入“電影社”的概率和進(jìn)入心理社的概率;
(Ⅱ)學(xué)校根據(jù)這兩個(gè)社團(tuán)的活動(dòng)安排情況,對(duì)進(jìn)入“電影社”的同學(xué)增加1個(gè)校本選修課學(xué)分,對(duì)進(jìn)入“心理社”的同學(xué)增加0.5個(gè)校本選修課學(xué)分.求該同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于1分的概率.
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