【題目】已知拋物線,直線交于兩點, 是的中點,過作軸的垂線交于點.
(1)證明:拋物線在點處的切線與平行;
(2)是否存在實數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過點?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2) 存在實數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點.
【解析】【試題分析】(1)先運用直線與拋物線的位置關(guān)系求出切點坐標,再求導(dǎo)運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析推證;(2)依據(jù)題設(shè)條件借助(1)的結(jié)論分析探求:
(1)證明:設(shè), ,把代入得.
所以, ,所以.
因為,所以拋物線在點處的切線斜率為,故該切線與平行.
(2)假設(shè)存在實數(shù),使以為直徑的圓經(jīng)過點,則.
由(1)知 ,又因為垂直于軸,
所以,
而 .
所以,解得.
所以,存在實數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點.
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【題目】已知奇函數(shù)f(x)在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分,
(1)請補全函數(shù)f(x)的圖象
(2)求函數(shù)f(x)的表達式,
(3)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)當a=0時,設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)﹣k(x+2)+2.若函數(shù)g(x)在區(qū)間 上有兩個零點,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】為了解某市的交通狀況,現(xiàn)對其6條道路進行評估,得分分別為:5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表:
評估的平均得分 | |||
全市的總體交通狀況等級 | 不合格 | 合格 | 優(yōu)秀 |
(1)求本次評估的平均得分,并參照上表估計該市的總體交通狀況等級;
(2)用簡單隨機抽樣方法從這條道路中抽取條,它們的得分組成一個樣本,求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率.
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【題目】若函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)﹣g(x)=ex , 則有( )
A.f(2)<f(3)<g(0)
B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)
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【題目】設(shè)甲、乙、丙三人進行圍棋比賽,每局兩人參加,沒有平局.在一局比賽中,甲勝乙的概率為 ,甲勝丙的概率為 ,乙勝丙的概率為 .比賽順序為:首先由甲和乙進行第一局的比賽,再由獲勝者與未參加比賽的選手進行第二局的比賽,依此類推,在比賽中,有選手獲勝滿兩局就取得比賽的勝利,比賽結(jié)束.
(1)求只進行了三局比賽,比賽就結(jié)束的概率;
(2)記從比賽開始到比賽結(jié)束所需比賽的局數(shù)為ξ,求ξ的概率分布列和數(shù)學期望Eξ.
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【題目】海南中學對高二學生進行心理障礙測試得到如下列聯(lián)表:
焦慮 | 說謊 | 懶惰 | 總計 | |
女生 | 5 | 10 | 15 | 30 |
男生 | 20 | 10 | 50 | 80 |
總計 | 25 | 20 | 65 | 110 |
試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大?
參考數(shù)據(jù):K2=
P(K2≥k) | 0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.535 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知函數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值;
(II)求函數(shù)的極值;
(III)當時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.
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【題目】已知函數(shù),求解下列問題(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f(﹣1),f(12)的值;.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求f(﹣1),f(12)的值;
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