【題目】已知雙曲線 C 經(jīng)過點 (2,3),它的漸近線方程為 y = ±.橢圓 C1與雙曲線 C有相同的焦點,橢圓 C1的短軸長與雙曲線 C 的實軸長相等.
(1)求雙曲線 C 和橢圓 C1 的方程;
(2)經(jīng)過橢圓 C1 左焦點 F 的直線 l 與橢圓 C1 交于 A、B 兩點,是否存在定點 D ,使得無論 AB 怎樣運動,都有∠ADF = ∠BDF ?若存在,求出 D 點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1); (2)存在點D
【解析】
(1)雙曲線的方程為:,則.設(shè)橢圓的方程;橢圓的短軸長與雙曲線的實軸長相等,橢圓與雙曲線有相同的焦點即可得、、
(2)直線垂直軸時,、兩點關(guān)于軸對稱,要使,則點必在軸上,設(shè),直線不垂直軸時,的方程設(shè)為:,設(shè),,,,聯(lián)立得.要使,即直線、的斜率互為相反數(shù),即,求得
解:(1)雙曲線方程為:,則.
雙曲線的方程為.
設(shè)橢圓的方程;
橢圓的短軸長與雙曲線的實軸長相等,
橢圓的短軸長為,橢圓與雙曲線有相同的焦點,
即,,橢圓的方程為:;
(2)直線垂直軸時,、兩點關(guān)于軸對稱,
,要使,則點必在軸上,
設(shè),直線不垂直軸時,的方程設(shè)為:,
設(shè),,,,聯(lián)立得.
.
,直線、的斜率互為相反數(shù),
即,
時恒成立.
時,;
存在定點,,使得無論怎樣運動,都有.
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【題目】給出下列命題:
(1)存在實數(shù)使;
(2)直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;
(3)()的值域是;
(4)若,都是第一象限角,且,則.
其中正確命題的序號為( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)
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【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹,2019年國慶70周年閱兵有59個方(梯)隊和聯(lián)合軍樂團,總規(guī)模約1.5萬人,是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.其中,徒步方隊15個.為了保證閱兵式時隊列保持整齊,各個方隊對受閱隊員的身高也有著非常嚴(yán)格的限制,太高或太矮都不行.徒步方隊隊員,男性身高普遍在175cm至185cm之間;女性身高普遍在163cm至175cm之間,這是常規(guī)標(biāo)準(zhǔn).要求最為嚴(yán)格的三軍儀仗隊,其隊員的身高一般都在184cm至190cm之間.經(jīng)過隨機調(diào)查某個閱兵陣營中女子100人,得到她們身高的直方圖,如圖,記C為事件:“某一閱兵女子身高不低于169cm”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.5.
(1)求直方圖中a,b的值;
(2)估計這個陣營女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)
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【題目】在數(shù)列中,,且.
(1)的通項公式為__________;
(2)在、、、、這項中,被除余的項數(shù)為__________.
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【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計,得到如下人數(shù)分布表.
購買金額(元) | ||||||
人數(shù) | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)求購買金額不少于45元的頻率;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
不少于60元 | 少于60元 | 合計 | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合計 |
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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【題目】設(shè)函數(shù),其中,若、、是的三條邊長,則下列結(jié)論:①對于一切都有;②存在使、、不能構(gòu)成一個三角形的三邊長;③為鈍角三角形,存在,使,其中正確的個數(shù)為______個
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(是參數(shù),是大于0的常數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)分別記直線:,與圓、圓的異于原點的交點為,,若圓與圓外切,試求實數(shù)的值及線段的長.
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【題目】甲、乙、丙三家企業(yè)產(chǎn)品的成本分別為10000,12000,15000,其成本構(gòu)成如下圖所示,則關(guān)于這三家企業(yè)下列說法錯誤的是( )
A.成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)B.費用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)
C.支付工資最少的企業(yè)是乙企業(yè)D.材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)
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【題目】如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個景點、、,景區(qū)管委會又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點,經(jīng)測量景點位于景點的北偏東方向處,位于景點的正北方向,還位于景點的北偏西方向上,已知.
(1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點向景點修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長;(結(jié)果精確到)
(2)求景點與景點之間的距離.(結(jié)果精確到)
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