【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,且,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).
()求證: .
()若,且平面平面,
求①二面角的銳二面角的余弦值.
②在線段上是否存在一點(diǎn),使得直線與平面所成角等于,若存在,確定的位置,若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)①;②答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意可證得平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理可得,
(2)①建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的一個(gè)法向量為;
而為平面的一個(gè)法向量.據(jù)此計(jì)算有二面角的銳二面角的余弦值為.
②假設(shè)上存在點(diǎn)滿足題意,利用平面向量的夾角公式得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,解方程可得,則線段上存在一點(diǎn),使得直線與平面所成的角等于.
試題解析:
()證明:∵, 平面, 平面,
∴平面,
又∵平面,且平面平面,
∴,
()①取的中點(diǎn),連接, , ,
∵是菱形,且, ,
∴, 是等邊三角形,
∴, ,
又平面平面,平面平面, 平面,
∴平面,
以為原點(diǎn),以, , 為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系,則:
, , , , , , .
, ,
設(shè)平面的法向量為,則:
,∴,
令得: ;
∵平面,
∴為平面的一個(gè)法向量.
∴.
故二面角的銳二面角的余弦值為.
②假設(shè)上存在點(diǎn)使得直線與平面所成角等于,
則與所成夾角為,
設(shè),則:
,
,
化簡得: ,
解得: 或(舍),
∴線段上存在一點(diǎn),使得直線與平面所成的角等于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.在(0, )內(nèi),sinx>cosx
B.函數(shù)y=2sin(x+ )的圖象的一條對(duì)稱軸是x= π
C.函數(shù)y= 的最大值為π
D.函數(shù)y=sin2x的圖象可以由函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象向右平移 個(gè)單位得到
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,,為中點(diǎn),與交于點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 若點(diǎn)在上,且.
(1)求的值;
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于(異于)兩點(diǎn), 證明: 直線與直線的斜率之積為常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 若點(diǎn)在上,且.
(1)求的值;
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于(異于)兩點(diǎn), 證明: 直線與直線的斜率之積為常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)環(huán)境保護(hù)部《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)()技術(shù)規(guī)定》,空氣質(zhì)量指數(shù)()在201—300之間為重度污染;在301—500之間為嚴(yán)重污染.依據(jù)空氣質(zhì)量預(yù)報(bào),同時(shí)綜合考慮空氣污染程度和持續(xù)時(shí)間,將空氣重污染分4個(gè)預(yù)警級(jí)別,由輕到重依次為預(yù)警四級(jí)、預(yù)警三級(jí)、預(yù)警二級(jí)、預(yù)警一級(jí),分別用藍(lán)、黃、橙、紅顏色標(biāo)示,預(yù)警一級(jí)(紅色)為最高級(jí)別.(一)預(yù)警四級(jí)(藍(lán)色):預(yù)測未來1天出現(xiàn)重度污染;(二)預(yù)警三級(jí)(黃色):預(yù)測未來1天出現(xiàn)嚴(yán)重污染或持續(xù)3天出現(xiàn)重度污染;(三)預(yù)警二級(jí)(橙色);預(yù)測未來持續(xù)3天交替出現(xiàn)重度污染或嚴(yán)重污染;(四)預(yù)警一級(jí)(紅色);預(yù)測未來持續(xù)3天出現(xiàn)嚴(yán)重污染.
某城市空氣質(zhì)量監(jiān)測部門對(duì)近300天空氣中濃度進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得出這300天濃度的頻率分布直方圖如圖,將濃度落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的濃度相互獨(dú)立.
(1)求當(dāng)?shù)乇O(jiān)測部門發(fā)布顏色預(yù)警的概率;
(2)據(jù)當(dāng)?shù)乇O(jiān)測站數(shù)據(jù)顯示未來4天將出現(xiàn)3天嚴(yán)重污染,求監(jiān)測部門發(fā)布紅色預(yù)警的概率.
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