Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率e=

2

2

，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 a2 c =2

，解得a=

2

，c=1，由此能得到所求橢圓的方程．
（2）由題意知F₁（-1，0）、F₂（1，0），①若直線l的斜率不存在，
則直線l的方程為x=-1，由

x=-1 x2 2 +y2=1

得y=±

2

2

設(shè)M(-1，

2

2

)、N(-1，-

2

2

)，|

F2M

+

F2N

|=|(-2，

2

2

)+(-2，-

2

2

)|=|(-4，0)|=4，這與已知相矛盾．
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），聯(lián)立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．再由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（1）由已知得

c a = 2 2 a2 c =2

，
解得a=

2

，c=1
∴b=

a2-c2

=1∴所求橢圓的方程為

x2

2

+y2=1
（ 2）由（1）得F₁（-1，0）、F₂（1，0）
①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1，
由

x=-1 x2 2 +y2=1

得y=±

2

2

設(shè)M(-1，

2

2

)、N(-1，-

2

2

)，
∴|

F2M

+

F2N

|=|(-2，

2

2

)+(-2，-

2

2

)|=|(-4，0)|=4，這與已知相矛盾．
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x1+x2=

-4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+2k2

．
又∵

F2M

=(x1-1，y1)，

F2N

=(x2-1，y2)
∴

F2M

+

F2N

=(x1+x2-2，y1+y2)
∴|

F2M

+

F2N

|=

(x1+x2-2)2+(y1+y2)2

=

( 8k2+2 1+2k2 )2+( 2k 1+2k2 )2

=

2 26

3

化簡(jiǎn)得40k⁴-23k²-17=0
解得k²=1或k²=-

17

40

（舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理解答．