Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k₁，k₂
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂的值．

Answer 1

分析：（1）由題意橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，2a=4，由此知橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，直線l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，

3

2

)，D(-1，-

3

2

)，D（-1，-

3

2

）或C（-1，-

3

2

），D（-1，

3

2

），由此能得到k₁：k₂=3．
（2）因為e=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c，橢圓方程為3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直線l：x=my-c，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

3x2+4y2=12c2 x=my-c

，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，再由韋達定理進行求解．

解答：解：（1）由題意橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，2a=4，所以a=2，c=1，b=

3

，
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，…（3分），
則直線l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，

3

2

)，D(-1，-

3

2

)，D（-1，-

3

2

）或C（-1，-

3

2

），D（-1，

3

2

），
當點C在x軸上方時，k1=

- 3 2

-1+2

 =-

3

2

，k2=

3 2

-1-2

=-

1

2

，
所以k₁：k₂=3，
當點C在x軸下方時，同理可求得k₁：k₂=3，
綜上，k₁：k₂=3為所求．…（6分）
（2）解：因為e=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c，
橢圓方程為3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直線l：x=my-c，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12c2 x=my-c

，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，
所以

y1+y2= 6mc- △ 2(4+3m2) + 6mc+ △ 2(4+3m 2) = 6mc 4+3m2 y1y2= 6mc- △ 2(4+3m2) • 6mc+ △ 2(4+3m2) =- 9c2 4+3m2

…（8分）
故

x1+x2=m(y1+y2)-2c=- 8c 3m2+4 x1x2=m2y1y2 -mc(y1+y2)+c2 = 4c2-12m2c2 3m2+4

，①
由

k1

k2

=

y2(x1-2c)

y1(x1+2c)

，及y2=

3

4

(4c2-x2)=

3(2c-x)(2c+x)

4

，…（9分）
得

k12

k22

=

y22(x1-2c)2

y12(x2+2c)2

=

(2c-x1)(2c-x2)

(2c+x1)(2c+x2)

=

4c2-2c(x1+x2)+x1x2

4c2+2c(x1+x2)+x1x2

，
將①代入上式得

k12

k22

=

4c2+ 16c2 3m2+4 + 4c2-12m2c2 3m2+4

4c2- 16c2 3m2+4 + 4c2-12m2c2 3m2+4

=

36c2

4c2

=9，…（10分）
注意到y(tǒng)₁y₂0，得

k1

k2

=

y2(x1-2c)

y1(x2+2c)

＞0，…（11分）
所以k₁：k₂=3為所求．…（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．