Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率是

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=

1

2

x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距為c，利用橢圓的離心率是

3

2

，可得a=2b，根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），可得

4

a2

+

1

b2

=1，從而有a²=8，b²=2，故可求橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1
（2）將直線y=

1

2

x+m(m＜0)代入橢圓方程

x2

8

+

y2

2

=1得x²+2mx+2m²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則當(dāng)m=-1時(shí)，x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，所以AB的長(zhǎng)為

15

，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)M（2，1）到直線x-2y-2=0 的距離為

2

5

，從而可求△MAB的面積．
（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，△MAB的內(nèi)心是I，則k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，從而可知∠AMB的平分線MI垂直于x軸，故可△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距為c
∵橢圓的離心率是

3

2

，∴

c2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，∴a=2b
又橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），∴

4

a2

+

1

b2

=1，解得a²=8，b²=2
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1
（2）將直線y=

1

2

x+m(m＜0)代入橢圓方程

x2

8

+

y2

2

=1得x²+2mx+2m²-4=0
令△=4m²-4（2m²-4）＞0，∴-2＜m＜0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
當(dāng)m=-1時(shí)，x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，∴AB的長(zhǎng)為

15

點(diǎn)M（2，1）到直線x-2y-2=0 的距離為

2

5

∴△MAB的面積S=

1

2

×

15

×

2

5

=

3

（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，△MAB的內(nèi)心是I，則k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0
∵m＜0，∴∠AMB的平分線MI垂直于x軸
∴△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)是2．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，合理運(yùn)用韋達(dá)定理．