【題目】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝AB.

（1）證明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角D－A1C－E的余弦值．

【答案】（1）見詳解；（2）.

【解析】

（1）記，連接，再利用中位線的相關(guān)性質(zhì)即可證明線面平行；

（2）根據(jù)位置關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量的夾角的余弦值并結(jié)合圖形，即可計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）記，連接，如圖所示：

因?yàn)閹缀误w是直三棱柱，所以四邊形是矩形，所以為中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）因?yàn)?/span>，所以，所以是等腰直角三角形，

所以建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

設(shè)，則，所以，

所以，

設(shè)平面一個(gè)法向量為，平面一個(gè)法向量為，

所以，所以，令，所以，

又，所以，令，所以，

所以，由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們知道，地球上的水資源有限，愛護(hù)地球、節(jié)約用水是我們每個(gè)人的義務(wù)與責(zé)任.某市政府為了對(duì)自來水的使用進(jìn)行科學(xué)管理，節(jié)約水資源，計(jì)劃確定一個(gè)家庭年用水量的標(biāo)準(zhǔn).為此，對(duì)全市家庭日常用水量的情況進(jìn)行抽樣抽查，獲得了個(gè)家庭某年的用水量（單位：立方米），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表及圖所示.

分組

頻數(shù)

頻率

25

0.19

50

0.23

0.18

5

（1）分別求出，的值；

（2）若以各組區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值，試估計(jì)全市家庭年均用水量；

（3）從樣本中年用水量在（單位：立方米）的5個(gè)家庭中任選3個(gè)，作進(jìn)一步的跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（5個(gè)家庭的年用水量都不相等）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2，再減去80，得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（ ）

A.40.6，1.1B.48.8，4.4C.81.2，44.4D.78.8，75.6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動(dòng)（不包括線段端點(diǎn)），且.以下結(jié)論：①；②若點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)，則由線與確定的平面在正方體上的截面為等邊三角形；③四面體的體積的最大值為；④直線與直線的夾角為定值.其中正確的結(jié)論為______.（填序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，點(diǎn)在上，且，將沿折起，使得平面平面(如圖2).為中點(diǎn)

(1)求證:；

(2)求四棱錐的體積；

(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為1，求：

（1）直線與直線所成角的余弦值；

（2）平面與平面所成二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列滿足，且，則

①數(shù)列是等比數(shù)列；

②滿足不等式：

③若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列；

④存在數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，能組成三角形的三條邊；

⑤滿足等式：.

正確的序號(hào)是________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知以為首項(xiàng)的數(shù)列滿足：

（1）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)，時(shí)，試用表示數(shù)列前100項(xiàng)的和；

（3）當(dāng)（是正整數(shù)），，正整數(shù)時(shí)，判斷數(shù)列，，，是否成等比數(shù)列？并說明理由．

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