【題目】棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動(dòng)(不包括線段端點(diǎn)),且.以下結(jié)論:①;②若點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn),則由線與確定的平面在正方體上的截面為等邊三角形;③四面體的體積的最大值為;④直線與直線的夾角為定值.其中正確的結(jié)論為______.(填序號(hào))
【答案】① ② ③
【解析】
①作NE⊥BC,MF⊥AB,垂足分別為E,F,可得四邊形MNEF是矩形,可得MN∥FE,利用AA1⊥面AC,可得結(jié)論成立;
②截面為△AB1C,為等邊三角形,故正確.
③設(shè),則=dM﹣BCN=,故③成立;
④設(shè),當(dāng)接近于0時(shí),直線與直線的夾角接近于,當(dāng)接近于1時(shí),夾角接近于,故④不正確;
①作NE⊥BC,MF⊥AB,垂足分別為E,F,∵AM=BN,∴NE=MF,∴四邊形MNEF是矩形,∴MN∥FE,∵AA1⊥面AC,EF面AC,∴AA1⊥EF,∴AA1⊥MN,故①正確;
②點(diǎn)M、N分別為線段AB1、BC1的中點(diǎn),則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD﹣A1B1C1D1 上的截面為△AB1C,為等邊三角形,故②正確.
③設(shè),則=dM﹣BCN,又AM=BN=,
∴=,dM﹣BCN =,∴=dM﹣BCN=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值,故③成立;
④設(shè),當(dāng)接近于0時(shí),直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角,接近于,當(dāng)接近于1時(shí),直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角,接近于,故④不正確;
綜上可知,正確的結(jié)論為①②③
故答案為:①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了讓學(xué)生更多的了解“數(shù)學(xué)史”知識(shí),某中學(xué)高二年級(jí)舉辦了一次“追尋先哲的足跡,傾聽(tīng)數(shù)學(xué)的聲音”的數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),共有800名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽,為了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表.請(qǐng)你根據(jù)頻率分布表解答下列問(wèn)題:
序號(hào) | 分組(分?jǐn)?shù)) | 組中值 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
1 | 65 | ① | 0.12 | |
2 | 75 | 20 | ② | |
3 | 85 | ③ | 0.24 | |
4 | 95 | ④ | ⑤ | |
合計(jì) | 50 | 1 |
(1)填充頻率分布表中的空格;
(2)規(guī)定成績(jī)不低于85分的同學(xué)能獲獎(jiǎng),請(qǐng)估計(jì)在參加的800名學(xué)生中大概有多少名同學(xué)獲獎(jiǎng)?
(3)在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中有一項(xiàng)計(jì)算見(jiàn)算法流程圖,求輸出的的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)求的定義域;并證明是定義域上的奇函數(shù);
(2)判斷在定義域上的單調(diào)性(無(wú)需證明);
(3)求使不等式解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一次籃,先投中者獲勝.投籃進(jìn)行到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)結(jié)束.設(shè)甲每次投籃命中的概率為,乙每次投籃命中的概率為,且各次投籃互不影響.現(xiàn)由甲先投.
(1)求甲獲勝的概率;
(2)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)X的分布列與期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程為:.
(I)若曲線,參數(shù)方程為:(為參數(shù)),求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程
(Ⅱ)若曲線,參數(shù)方程為 (為參數(shù)),,且曲線,與曲線交點(diǎn)分別為,求的取值范圍,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓:,其長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,以某短軸頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作為直徑的圓的周長(zhǎng)為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.若,求點(diǎn)的軌跡方程;
(3)設(shè)直線,,的斜率分別為,,,其中且.設(shè)的面積為.以、為直徑的圓的面積分別為,,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若在上有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2016高考新課標(biāo)II,理15)有三張卡片,分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的各條棱長(zhǎng)均相等, 為的中點(diǎn), 分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 平面平面 B. 三棱錐的體積為定值
C. 可能為直角三角形 D. 平面與平面所成的銳二面角范圍為
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