Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的幫圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），N.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓C相交于異于M點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AMB面積取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的方程為（，，）.

根據(jù)橢圓過(guò)兩點(diǎn)，代入得到方程組，解得.

（2）由直線AM，BM，AB的斜率存在，故.設(shè)它們的斜率分別為，，k.

設(shè)，，直線AB的方程為.聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由.即. 即可解得，或.分別代入檢驗(yàn)，再用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，表示出三角形的面積，利用基本不等式求最值.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為（，，）.

∵點(diǎn)和N在橢圓C上，

∴.解得.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）∵點(diǎn)A，B為橢圓上異于M的兩點(diǎn)，且直線AM，BM的傾斜角互補(bǔ)，

∴直線AM，BM，AB的斜率存在.設(shè)它們的斜率分別為，，k.

設(shè)，，直線AB的方程為.

∴.

∴.

由，消去y，得.

由，得.

∴，.

∴.

∴.

∴.

∴，或.

∵點(diǎn)A，B為橢圓上異于M的兩點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，不合題意，舍去.

∴直線AB的斜率為.

∵，點(diǎn)M到直線AB的距離為，

∴的面積為.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí).

∵，滿足.

∴直線AB的方程為或.