Question

【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（1）用函數(shù)單調(diào)性定義來證明上的單調(diào)性；

（2）已知， ，求函數(shù)的值域；

（3）對于（2）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用單調(diào)性的定義證明單調(diào)遞減；（2）構(gòu)造函數(shù)得，換元求得值域為；（3）由（2）知的值域為， 的值域是的值域的子集，所以.

試題解析：

（1）證明：設(shè)-=-=

--，

故函數(shù)

（2），

設(shè) 則 則， ．

由已知性質(zhì)得，

當(dāng)，即時， 單調(diào)遞減；所以減區(qū)間為；

當(dāng)，即時， 單調(diào)遞增；所以增區(qū)間為；

，得的值域為

（3）由（2）知的值域為， 又為減函數(shù)，故．

由題意知， 的值域是的值域的子集，