【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD菱形,,平面平面 ABCD, .E,F 分別是線段 SC,AB 上的一點, .
(1)求證:平面SAD;
(2)求平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
(1)先證明平行四邊形AGEF,得到AG∥EF,再證明EF∥平面SAD;
(2)以OA,OB,OS所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,求出平面DEF的法向量和平面SBC的一個法向量,利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值,從而求出平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.
(1)過點E作EG∥DC,如圖,連接AG,因為,所以,
故EG∥CD,EG,由,AF,
因為菱形ABCD,所以EG∥AF,EG=AF,
故平行四邊形AGEF,所以AG∥EF,
又平面,平面,所以平面.
(2)取AD中點O,等腰三角形SAD,故SO⊥AD,連接OB,
菱形ABCD,∠ADC=120°,所以OB⊥OA,
又平面SAD⊥平面ABCD所以SO⊥平面ABCD,
以OA,OB,OS所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,
因為SA=SD=3,所以AD=AB=CD=6,SO=3,
∠ADC=120°,所以AF=2,OB,AO=OD=3,
所以A(3,0,0),D(﹣3,0,0),S(0,0,3),
F(2,,0),B(0,3,0),C(﹣6,3,0),
又(﹣2,,﹣1),得E(﹣2,,2),
所以,,,,
設(shè)平面DEF的一個法向量為,
由,得,故
設(shè)平面SBC的一個法向量為,
由,得,故,
所以,
平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,若方程有實根,求的最小值;
(2)設(shè),若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若橢圓的焦點在x軸上,離心率為,依次連接的四個頂點所得四邊形的面積為40.
(1)試求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若曲線M上任意一點到的右焦點的距離與它到直線的距離相等,直線經(jīng)過的下頂點和右頂點,,直線與曲線M相交于點P、Q(點P在第一象限內(nèi),點Q在第四象限內(nèi)),設(shè)的下頂點是B,上頂點是D,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知{an}是等差數(shù)列,其前n項和Sn=n2﹣2n+b﹣1,{bn}是等比數(shù)列,其前n項和Tn,則數(shù)列{ bn +an}的前5項和為( 。
A.37B.-27C.77D.46
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【題目】某運動制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn),現(xiàn)選擇15名志愿者,對其身高和臂展進(jìn)行測量(單位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對應(yīng)的散點圖,并求得其回歸方程為,以下結(jié)論中不正確的為
A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系,
C. 可估計身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的值域為A,.
(1)當(dāng)的為偶函數(shù)時,求的值;
(2) 當(dāng)時, 在A上是單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;
(3)當(dāng)時,(其中),若,且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,在處取 得最小值,試探討應(yīng)該滿足的條件.
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