Question

正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且。

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析，；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式，由已知，這是由求，可根據(jù)來(lái)求，因此當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理得，從而得數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為２的等差數(shù)列，可寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：，首先求出的通項(xiàng)公式，，分母是等差數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)積，符合利用拆項(xiàng)相消法求和，即，這樣求得和，利用數(shù)列的單調(diào)性，可證結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）由得：當(dāng)時(shí)，，得，

當(dāng)時(shí)，，

整理得，又為正項(xiàng)數(shù)列，

故，（），因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

。（6分）

（Ⅱ），

∴，

∵，∴，（8分）

，

∴數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列 ∴，

綜上所述，。（12分）

考點(diǎn)：等差數(shù)列的判斷，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和．