Question

【題目】已知定點(diǎn)，圓，點(diǎn)為圓上動點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)與作平行直線和，分別交曲線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由中垂線的性質(zhì)得，可得出，符合橢圓的定義，可知曲線是以、為焦點(diǎn)的橢圓，由此可得出曲線的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計(jì)算出，同理得出，并計(jì)算出兩平行直線、的距離，可得出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出四邊形面積的最大值.

（1）由中垂線的性質(zhì)得，，

所以，動點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，

設(shè)曲線的方程為，則，，

因此，曲線的方程為:；

（2）由題意，可設(shè)的方程為，

聯(lián)立方程得，

設(shè)、，則由根與系數(shù)關(guān)系有，

所以，

同理，與的距離為，

所以，四邊形的面積為，

令，則，得，

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積取最大值為.