已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn),
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中0為原點(diǎn)),求k的取值范圍。

(1);(2)

解析試題分析:(1)有橢圓方程中讀出其長軸長,焦距長,根據(jù)題意得出雙曲線的長軸長,和焦距長,即可求出雙曲線方程。(2)因?yàn)橹本l與兩曲線均有兩個(gè)不同交點(diǎn),故聯(lián)立方程后整理出的一元二次方程均有兩根,即判別式均大于0,再根據(jù)向量數(shù)量積公式列出關(guān)于K 的不等式,三個(gè)不等式取交集。
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為,由橢圓的方程知,其長軸長為4,焦距長為,則由題意知雙曲線,,所以,故的方程為。
(2)將代入,整理得,由直線與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得,
代入,整理得,由直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得,解得。


解此不等式得
       ③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
考點(diǎn):圓錐曲線方程基礎(chǔ)知識,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,向量數(shù)量積公式

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為且與雙曲線有共同焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作的切線,求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值;
(3)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,過橢圓上的一點(diǎn)軸的垂線交軸于點(diǎn),若點(diǎn)滿足,,連結(jié)于點(diǎn),求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓的離心率為,且橢圓經(jīng)過點(diǎn)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)線段是橢圓過點(diǎn)的弦,且,求內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

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已知動圓過定點(diǎn)P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點(diǎn)C在l上.
(1)求動圓圓心的軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). 問:△ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo);若不能,說明理由.

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定義:對于兩個(gè)雙曲線,,若的實(shí)軸是的虛軸,的虛軸是的實(shí)軸,則稱,為共軛雙曲線.現(xiàn)給出雙曲線和雙曲線,其離心率分別為.
(1)寫出的漸近線方程(不用證明);
(2)試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線?請加以證明.
(3)求值:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓E:=1()過點(diǎn)M(2,), N(,1),為坐標(biāo)原點(diǎn)
(I)求橢圓E的方程;
(II)是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為,點(diǎn)C在x軸上方。
(1)若點(diǎn)C坐標(biāo)為,求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)P(m,0)作傾角為的直線交(1)中曲線于M、N兩點(diǎn),若點(diǎn)Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上,求實(shí)數(shù)m的值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn),設(shè)軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)、 上(、不重合),且滿足,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點(diǎn)F是拋物線C:的焦點(diǎn),S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且|SF|=.

(Ⅰ)求點(diǎn)S的坐標(biāo);
(Ⅱ)以S為圓心的動圓與軸分別交于兩點(diǎn)A、B,延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn);
①判斷直線MN的斜率是否為定值,并說明理由;
②延長NM交軸于點(diǎn)E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.

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