Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，其右準線上l上存在點A（點A在x軸上方），使△AF₁F₂為等腰三角形．
（1）求離心率e的范圍；
（2）若橢圓上的點(1，

2

2

)到兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

2

，求△AF₁F₂的內(nèi)切圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=

a2

c

．設(shè)A(

a2

c

，y0)，由△AF₁F₂為等腰三角形，則只能是F₁F₂=F₂A，又F2A＞

a2

c

-c，由此能得到離心率e的范圍．
（2）由題意得橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，其離心率為

2

2

＞

3

3

，此時F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得y0=

3

，設(shè)內(nèi)切圓的圓心B（x₁，y₁），AF1：x-

3

y+1=0，BF2：y=-

3

(x-1)，
因為△AF₁F₂為等腰三角形，所以△AF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心點B到AF₁的距離等于點B到x軸的距離，由此能求出△AF₁F₂的內(nèi)切圓的方程．

解答：解：（1）由題意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=

a2

c

．（2分）
設(shè)A(

a2

c

，y0)，由△AF₁F₂為等腰三角形，則只能是F₁F₂=F₂A，又F2A＞

a2

c

-c，
即2c＞

a2

c

-c，所以

3

3

＜e＜1．（6分）
（2）由題意得橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，其離心率為

2

2

＞

3

3

，此時F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得y0=

3

．（10分）
設(shè)內(nèi)切圓的圓心B（x₁，y₁），AF1：x-

3

y+1=0，BF2：y=-

3

(x-1)，
因為△AF₁F₂為等腰三角形，所以△AF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心點B到AF₁的距離等于點B到x軸的距離，即

-x1+ 3 y1-1

2

=y1，①
由點B在直線BF₂上，所以y1=-

3

(x1-1)，②
由①②可得

x1= 3 -1 y1=2 3 -3

所以△AF₁F₂的內(nèi)切圓的方程為(x+1-

3

)2+(y+3-2

3

)2=(2

3

-3)2．（16分）

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)和應用，在解題時亦可先用面積求出半徑，再求圓的方程．