【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于任意滿(mǎn)足，且，數(shù)列滿(mǎn)足，，其前項(xiàng)和為.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意正整數(shù)，都有；

（3）將數(shù)列、的項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在前面”，“當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”得到一個(gè)新的數(shù)列：、、、、、、、、求這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和.

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）由題意可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出，再由可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等差中項(xiàng)法可知數(shù)列為等差數(shù)列，從而可得出數(shù)列為等比數(shù)列，且設(shè)該等比數(shù)列的公比為，結(jié)合題中條件求出和的值，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可證明出；

（3）求出數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可得出.

（1）且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，.

當(dāng)時(shí)，.

也適合上式，所以，.

，即，

所以，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，

，所以，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則.

由題意可得，解得，

因此，；

（2），

，①

則，②

①②得，

化簡(jiǎn)得；

（3）數(shù)列的前項(xiàng)和為，

數(shù)列的前項(xiàng)和為，

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，，

特別地，當(dāng)時(shí)，也適合上式；

③當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱(chēng)為函數(shù)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

（1）若、且，證明：函數(shù)必有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知首項(xiàng)大于0的等差數(shù)列的公差，且；

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿(mǎn)足：，，，其中；

①求數(shù)列的通項(xiàng)；

②是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線(xiàn)、的極坐標(biāo)方程；

（2）射線(xiàn)：與曲線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，（且點(diǎn)，均異于原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，從其中任選個(gè)，則事件：“所選個(gè)函數(shù)圖象有且僅有個(gè)公共點(diǎn)”的概率是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，某傳動(dòng)裝置由兩個(gè)陀螺，組成，陀螺之間沒(méi)有滑動(dòng)，每個(gè)陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個(gè)部分構(gòu)成，每個(gè)圓柱的底面半徑和高都是相應(yīng)圓錐底面半徑的，且，的軸相互垂直，它們相接觸的直線(xiàn)與的軸所成角，若陀螺中圓錐的底面半徑為（）；

（1）求陀螺的體積；

（2）當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，陀螺中圓錐底面圓周上一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)，求與之間的距離；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于數(shù)列，若（是與無(wú)關(guān)的常數(shù),）則稱(chēng)數(shù)列叫做“弱等差數(shù)列”已知數(shù)列滿(mǎn)足：且,對(duì)于恒成立，（其中都是常數(shù)）

（1）求證：數(shù)列是“弱等差數(shù)列”，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

（2）當(dāng)時(shí)，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍

（3）若，且，數(shù)列滿(mǎn)足：，求

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)、、、（），都在函數(shù)（，）的圖像上；

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)，函數(shù)的反函數(shù)為，若函數(shù)與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，求證：在直線(xiàn)上；

（3）設(shè)，（），過(guò)點(diǎn)、的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，問(wèn)：數(shù)列是否存在最大項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動(dòng)情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個(gè)年齡段人員進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知抽取的樣本同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:

（i）老年人的人數(shù)多于中年人的人數(shù);

（ii）中年人的人數(shù)多于青年人的人數(shù);

（iii）青年人的人數(shù)的兩倍多于老年人的人數(shù).

①若青年人的人數(shù)為4,則中年人的人數(shù)的最大值為___________.

②抽取的總?cè)藬?shù)的最小值為__________．

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