Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)在[0，π] 上的最大值與最小值；

（2）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析．

【解析】

（1）求導(dǎo)研究函數(shù)在[0，π] 上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；

（2）求出，并求導(dǎo)可得，令，求導(dǎo)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，對(duì)分類討論：，，，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可.

解：（1）由已知，

令，則

此時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞增，

又，則在上恒成立，

在上單調(diào)遞增，

；

（2），

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

時(shí)，時(shí)，，

①時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

時(shí)，函數(shù)取到極小值；

②時(shí)，令，

解得，

i)時(shí)，

時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

時(shí)，函數(shù)取到極小值，

時(shí)，函數(shù)取到極大值；

ii) 時(shí)，時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

iii) 時(shí)，，

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)，函數(shù)取到極大值；

時(shí)，函數(shù)取到極小值；

綜上所述：

時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)取到極小值；

時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)取到極小值，時(shí)，函數(shù)取到極大值；

時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

時(shí)， 函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)取到極大值；時(shí)，函數(shù)取到極小值.