【題目】已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),若,恒有成立,求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由在上單調(diào)遞增,可得在上恒成立,利用分離參數(shù)法求出的范圍即可;
(2)設(shè),,根據(jù)條件求出的范圍后,根據(jù),可得的最小值.
解:(1)由,得,
由在上單調(diào)遞增,可得在上恒成立,
即在上恒成立,
當(dāng)時,;當(dāng),則,∴,
∴的取值范圍為.
(2)設(shè),,
則.
設(shè),則,
∴單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增,
∴.
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,∴,不符合題意;
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,,符合題意;
當(dāng)時,由于為一個單調(diào)遞增的函數(shù),
而,,
由零點(diǎn)存在性定理,必存在一個零點(diǎn),使得,
從而在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因此只需,∴,
∴,從而,
綜上,的取值范圍為,
因此.
設(shè),則,
令,則,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
從而,
∴的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面, ,分別是的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)強(qiáng)國活動中,某市圖書館的科技類圖書和時政類圖書是市民借閱的熱門圖書.為了豐富圖書資源,現(xiàn)對已借閱了科技類圖書的市民(以下簡稱為“問卷市民”)進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查,若不借閱時政類圖書記1分,若借閱時政類圖書記2分,每位市民選擇是否借閱時政類圖書的概率均為,市民之間選擇意愿相互獨(dú)立.
(1)從問卷市民中隨機(jī)抽取4人,記總得分為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)(i)若從問卷市民中隨機(jī)抽取人,記總分恰為分的概率為,求數(shù)列的前10項和;
(ⅱ)在對所有問卷市民進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中,記已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為(比如:表示累計得分為1分的概率,表示累計得分為2分的概率,),試探求與之間的關(guān)系,并求數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)說,年過半百的笛卡爾擔(dān)任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數(shù)學(xué)老師,日久生情,彼此愛慕,其父國王知情后大怒,將笛卡爾流放回法國,并軟禁公主,笛卡爾回法國后染上黑死病,連連給公主寫信,死前最后一封信只有一個公式:國王不懂,將這封信交給了公主,公主用笛卡爾教她的坐標(biāo)知識,畫出了這個圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意,登上了國王寶座后,派人去尋笛卡爾,其逝久矣(僅是一個傳說).心形線是由一個圓上的一個定點(diǎn),當(dāng)該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點(diǎn)的軌跡,因其形狀像心形而得名.在極坐標(biāo)系中,方程表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在直線為軸,極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與相交于、、三點(diǎn),求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的月日是全國愛牙日,為了迎接這一節(jié)日,某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組,調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關(guān)系”,對該地區(qū)小學(xué)六年級名學(xué)生進(jìn)行檢查,按患齲齒的不患齲齒分類,得匯總數(shù)據(jù):不常吃零食且不患齲齒的學(xué)生有名,常吃零食但不患齲齒的學(xué)生有名,不常吃零食但患齲齒的學(xué)生有名.
(1)完成答卷中的列聯(lián)表,問:能否在犯錯率不超過的前提下,認(rèn)為該地區(qū)學(xué)生的常吃零食與患齲齒有關(guān)系?
(2)名區(qū)衛(wèi)生部門的工作人員隨機(jī)分成兩組,每組人,一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)收集,另一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理,求工作人員甲分到負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)組,工作人員乙分到負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理組的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點(diǎn)為噴泉,圓心為的中點(diǎn),其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞.
(1)若當(dāng)時,,求此時的值;
(2)設(shè),且.
(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;
(ii)若同時要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時,觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線,以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),與曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學(xué)、清華大學(xué)、武漢大學(xué)和復(fù)旦大學(xué)錄取,他們分別被哪個學(xué)校錄取,同學(xué)們做了如下的猜想
甲同學(xué)猜:曾玉被武漢大學(xué)錄取,李夢被復(fù)旦大學(xué)錄取
同學(xué)乙猜:劉云被清華大學(xué)錄取,張熙被北京大學(xué)錄取
同學(xué)丙猜:曾玉被復(fù)旦大學(xué)錄取,李夢被清華大學(xué)錄取
同學(xué)丁猜:劉云被清華大學(xué)錄取,張熙被武漢大學(xué)錄取
結(jié)果,恰好有三位同學(xué)的猜想各對了一半,還有一位同學(xué)的猜想都不對
那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是( )
A.北京大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)
B.武漢大學(xué)、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、北京大學(xué)
C.清華大學(xué)、北京大學(xué)、武漢大學(xué) 、復(fù)旦大學(xué)
D.武漢大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)
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