【題目】已知橢圓過點(diǎn),且左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,線段的中點(diǎn)記為,且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求的取值范圍。
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,可以求得c,再利用橢圓過點(diǎn)求得、,從而求出橢圓方程。
(2)由直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),可以由 得到k與m的不等關(guān)系,再由AG直線與直線垂直,斜率乘積為-1,得到k與m的等量關(guān)系,將等量關(guān)系代入不等關(guān)系來限定k的取值范圍。
(1)〖解法1〗拋物線的焦點(diǎn)為F(-1,0),
依題意知,橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
又橢圓過點(diǎn),∴由橢圓的定義知,,
∴,又,∴
∴橢圓的方程為.
(1)〖解法2〗拋物線的焦點(diǎn)為F(-1,0),
依題意知,橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
又橢圓過點(diǎn),∴
解得,
∴橢圓的方程為.
(1)〖解法3〗拋物線的焦點(diǎn)為F(-1,0),
依題意知,橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
又橢圓過點(diǎn),∴
∴,∵
∴可解得,
∴橢圓的方程為.
(2)〖解法1〗由消去整理得
,
直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),
,整理得……①
設(shè),線段的中點(diǎn)A,
則,
∴∴,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為,
∴直線AG的斜率為,
又直線AG和直線MN垂直,
∴,∴,
將上式代入①式,可得,
整理得,解得.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(2)〖解法2〗設(shè)
則 兩式相減得
即
點(diǎn)滿足方程 ①.
又直線且過點(diǎn)
點(diǎn)也滿足方程 ②
聯(lián)立①②解得,即
點(diǎn)在橢圓內(nèi)部
的取值范圍為
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【題目】(1)用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園,當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí),所用籬笆最短?最短籬笆的長(zhǎng)度是多少?
(2)用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí),菜園的面積最大?最大面積是多少?
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【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.
若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列,的前n項(xiàng)和為,則下列說法中正確的是( )
A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列
C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是
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【題目】 某工廠甲、乙兩個(gè)車間包裝同一種產(chǎn)品,在自動(dòng)包裝傳送帶上,每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品,稱其重量是否合格,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位:千克):
甲車間:102,101,99,98,103,98,99.
乙車間:110,115,90,85,75,115,110.
(1)這種抽樣方式是何種抽樣方法;
(2)試根據(jù)這組數(shù)據(jù)說明哪個(gè)車間產(chǎn)品較穩(wěn)定?
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【題目】如圖,CM,CN為某公園景觀湖胖的兩條木棧道,∠MCN=120°,現(xiàn)擬在兩條木棧道的A,B處設(shè)置觀景臺(tái),記BC=a,AC=b,AB=c(單位:百米)
(1)若a,b,c成等差數(shù)列,且公差為4,求b的值;
(2)已知AB=12,記∠ABC=θ,試用θ表示觀景路線A-C-B的長(zhǎng),并求觀景路線A-C-B長(zhǎng)的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)那么方程在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)是___________.
(2)對(duì)于下列命題:
①函數(shù)是周期函數(shù);
②函數(shù)既有最大值又有最小值;
③函數(shù)的定義域是,且其圖象有對(duì)稱軸;
④在開區(qū)間上,單調(diào)遞減.
其中真命題的序號(hào)為______________(填寫真命題的序號(hào)).
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【題目】(本小題滿分12分)
已知函數(shù)(其中a是實(shí)數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn) ,求取值范圍.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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【題目】已知的一個(gè)內(nèi)角為,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則的面積為( )
A. 15 B. C. D.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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