Question

【題目】如圖，已知圓N：x2+（y+ ）2=36，P是圓N上的點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段NP上，且有點(diǎn)D（0， ）和DP上的點(diǎn)M，滿足 =2 ， =0．
（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）若斜率為 的直線l與（1）中所求Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)A、B，又點(diǎn)C（ ，2），求△ABC面積最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，MQ是線段DP的中垂線，∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6＞|DN|=2 ，

∴Q的軌跡是以D，N為焦點(diǎn)的橢圓，且c= ，a=3，b=2，

∴求點(diǎn)Q的軌跡方程是 =1

（2）解：設(shè)l：y= x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

與橢圓聯(lián)立，可得9x2+6mx+2m2﹣18=0，

x1+x2=﹣ m，x1x2= （2m2﹣18），

|AB|= = ，

C（ ，2）到直線l的距離d= ，

S= = ，

∴m=±3時(shí)，S最大，此時(shí)直線l的方程為y= x±3

【解析】（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用橢圓的定義，求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）△ABC的面積取到最大值問題，要先建立關(guān)于某個(gè)自變量的函數(shù)，后再求此函數(shù)的最大值即可．