【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若存在不相等的實(shí)數(shù),,使得,證明:.
【答案】(1)見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,再對(duì)分三種情況進(jìn)行討論;
(2)先求出,再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)研究函數(shù)的圖象特征,當(dāng)時(shí),圖象在上是增函數(shù),不符合題;當(dāng)時(shí),再將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解證明.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
,
因?yàn)?/span>,所以,
①當(dāng),即時(shí),
由得或,由得,
所以在,上是增函數(shù), 在上是減函數(shù);
②當(dāng),即時(shí),所以在上是增函數(shù);
③當(dāng),即時(shí),由得或,由得,所以在,.上是增函數(shù),在.上是減函
綜上可知:
當(dāng)時(shí)在,上是單調(diào)遞增,在上是單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在.上是單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí)在,上是單調(diào)遞增,在上是單調(diào)遞減.
(2),,
當(dāng)時(shí), ,所以在上是增函數(shù),故不存在不相等的實(shí)數(shù),,使得,所以.
由得,即,
不妨設(shè),則,
要證,只需證,即證,
只需證,令,只需證,即證,
令,則,
所以在上是增函數(shù),所以,
從而,故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)f(x)=2lnx﹣ax2+3x,其中a∈R.
(1)若f(1)=2,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)若a=﹣1,正實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)=0,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E為MC的中點(diǎn),則下列結(jié)論不正確的是( )
A. 平面平面ABN B.
C. 平面平面AMN D. 平面平面AMN
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體;在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t,使得.
(1)判斷是否屬于集合M,并說明理由;
(2)若屬于集合M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),其前項(xiàng)和為,且滿足:,,其中,常數(shù).
(1)求證:是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù),使得對(duì)任意,都有成立,則稱為周期數(shù)列,為它的一個(gè)周期),求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,(),問:數(shù)列中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說明理由;若不是,請(qǐng)舉出反例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(),其準(zhǔn)線方程,直線過點(diǎn)(),且與拋物線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線方程,并注明:的值與直線傾斜角的大小無關(guān);
(2)若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),記的最小值為函數(shù),求的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為給定的不小于的正整數(shù),考察個(gè)不同的正整數(shù),,,構(gòu)成的集合,若集合的任何兩個(gè)不同的非空子集所含元素的總和均不相等,則稱集合為“差異集合”.
(1)分別判斷集合,集合是否是“差異集合”;(只需寫出結(jié)論)
(2)設(shè)集合是“差異集合”,記,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)設(shè)集合是“差異集合”,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位共有老年人120人,中年人360人,青年人n人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個(gè)容量為m的樣本,用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查,樣本中的中年人為6人,則n和m的值不可以是下列四個(gè)選項(xiàng)中的哪組( )
A.n=360,m=14B.n=420,m=15C.n=540,m=18D.n=660,m=19
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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