【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;

2)設(shè)函數(shù),若存在不相等的實(shí)數(shù),使得,證明:

【答案】(1)見解析;(2)詳見解析.

【解析】

1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,再對(duì)分三種情況進(jìn)行討論;

2)先求出,再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)研究函數(shù)的圖象特征,當(dāng)時(shí),圖象在上是增函數(shù),不符合題;當(dāng)時(shí),再將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解證明.

1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

,

因?yàn)?/span>,所以,

①當(dāng),即時(shí),

,由,

所以,上是增函數(shù), 上是減函數(shù);

②當(dāng),即時(shí),所以上是增函數(shù);

③當(dāng),即時(shí),由,由,所以,.上是增函數(shù),在.上是減函

綜上可知:

當(dāng)時(shí),上是單調(diào)遞增,在上是單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),.上是單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)上是單調(diào)遞增,在上是單調(diào)遞減.

2,,

當(dāng)時(shí), ,所以上是增函數(shù),故不存在不相等的實(shí)數(shù),,使得,所以.

,即,

不妨設(shè),則,

要證,只需證,即證,

只需證,令,只需證,即證

,則,

所以上是增函數(shù),所以,

從而,故.

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