Question

    設(shè)A、B分別為雙曲線，的左、右兩個頂點，P為雙曲線上一點，|AB|=|BP|=4，∠PAB=30°.

（Ⅰ）求雙曲線方程;

（Ⅱ）設(shè)M為（I）中雙曲線上任一動點，過B點作直線l₁，使得l₁⊥BM，過A點作直線l₂，使得l₂⊥AM，l₁，l₂相交于點N，求點N的軌跡方程.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：（I）解法一：∵|AB|=4 ∴2a=4, ∴a=2 過P點做PC⊥x軸，C為垂足 在△ABP中，∵|AB|=|BP|=4，∠PAB=30° ∴∠PBC=2∠PAB=60° ∴|PC|=|PB|·sin60°=4· |BC|=|PB|·cos60°=4·　　 ∵雙曲線方程為 ∴所求的雙曲線方程為 （II）解法一，設(shè)M（x0,y0）, N(x,y) ∵A(－2，0)，B（2，0） NB⊥MB，NA⊥MA 　　 　　 　　 …………② 　　 　　   　　 　　 　　 …………① 　　 　　   　　 　　 　　 ………………③ 　　 　　   經(jīng)檢驗點（2，0）、（－2，0）不合 ∴N點軌跡方程為x2－y2=4（點（2,0），（－2，0）除外） 解法二：設(shè)M（x0,y0）  N(x, y) ∵NB⊥MB，NA⊥MA 經(jīng)檢驗點（2，0），（－2，0）不合題意 ∴N點軌跡方程為x2－y2=4（點（2，0），（－2，0）除外） 解法三：∵MA⊥NA ∴………………（1） 連接M、N，設(shè)M、N的中點為R. ∵MA⊥NA，NB⊥MB，  ∴， ∴|AR|=|RB|，∴R在y軸上. ∴…………（2） 把（2）代入（1）得： 由（3）、（4）代入 整理得 經(jīng)檢驗，點（2，0）（－2，0）不合. ∴N點軌跡方程為x2－y2=4（點（2，0），（－2，0）除外）