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設A、B分別為雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右兩個頂點,P為雙曲線上一點, |AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°.

(1)求雙曲線的方程;

(2)設M為(1)中雙曲線上任一動點,過B點作直線l1,使得l1⊥BM,過A點作直線l2,使得l2⊥AM,l1、l2相交于點N,求點N的軌跡方程.

解:(1)∵|AB|=4,

∴2a=4,即a=2.

過P點作PC⊥x軸,C為垂足.

在△ABP中,

∵|AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°,

∴∠PBC=2∠PAB=60°.

∴|PC|=|PB|·sin60°=2.

∴P(4,2).

又∵點P為雙曲線上任意一點,則=1.

∴b2=4.

故所求雙曲線的方程為-=1.

(2)設M(x0,y0)、N(x,y).∵A(-2,0)、B(2,0),

NB⊥MB,NA⊥MA,

∴

由（1）×（2）得=1.                                              （3）

又∵M(x0,y0)在雙曲線上,

∴=1.∴=1.代入（3）中,

得=1,即x2-y2=4.

經檢驗點(-2,0)、(2,0)不符合題意.

故N點軌跡方程為x2-y2=4(x≠±2).


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設A、B分別為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右頂點，雙曲線的實軸長為4
3
，焦點到漸近線的距離為
3
．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=
3
3
x-2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使
OM
+
ON
=t
OD
，求t的值及點D的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A、B分別為雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右兩個頂點,P為雙曲線上一點, |AB|=|BP|=4,∠PAB=30°.

(1)求雙曲線的方程;

(2)設M為(1)中雙曲線上任一動點,過B點作直線l1,使得l1⊥BM,過A點作直線l2,使得l2⊥AM,l1、l2相交于點N,求點N的軌跡方程.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設A、B分別為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右頂點，雙曲線的實軸長為4
3
，焦點到漸近線的距離為
3
．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=
3
3
x-2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使
OM
+
ON
=t
OD
，求t的值及點D的坐標．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南省郴州市安仁一中高三（上）月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設A、B分別為雙曲線的左右頂點，雙曲線的實軸長為，焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標．

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