Question

設(shè)A、B分別為雙曲線的左右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由實(shí)軸長(zhǎng)可得a值，由焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離可得b，c的方程，再由a，b，c間的平方關(guān)系即可求得b；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x，y），則x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，則x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂，進(jìn)而求得y₁+y₂，從而可得，再由點(diǎn)D在雙曲線上得一方程，聯(lián)立方程組即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得t值；
解答：解：（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為，得，
漸近線方程為x，即bx-2y=0，
∵焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
∴，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴雙曲線方程為：；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x，y），則x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，
由，
∴y₁+y₂=-4=12，
∴，解得，∴t=4，
∴，t=4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．