【題目】,為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形的直角邊所在直線與,都垂直,斜邊以直線為旋轉軸旋轉,有下列結論:

(1)當直線角時,角;

(2)當直線角時,角;

(3)直線所成角的最小值為

(4)直線所成角的最小值為;

其中正確的是______(填寫所有正確結論的編號).

【答案】(1)(3)

【解析】

由題意知,a、bAC三條直線兩兩相互垂直,構建如圖所示的邊長為1的正方體,|AC|=1,|AB|,斜邊AB以直線AC為旋轉軸,則A點保持不變,B點的運動軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓,以C坐標原點,以CDx軸,CBy軸,CAz軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出結果.

由題意知,a、b、AC三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖,

不妨設圖中所示正方體邊長為1,

故|AC|=1,|AB|,

斜邊AB以直線AC為旋轉軸,則A點保持不變,

B點的運動軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓,

C坐標原點,以CDx軸,CBy軸,CAz軸,建立空間直角坐標系,

D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量(0,1,0),||=1,

直線b的方向單位向量(1,0,0),||=1,

B點在運動過程中的坐標中的坐標B′(cosθ,sinθ,0),

其中θ為BCCD的夾角,θ∈[0,2π),

AB′在運動過程中的向量為(cosθ,sinθ,﹣1),||,

所成夾角為α∈[0,],

則cosα|sinθ|∈[0,],

∴α∈[,],∴(3)正確,(4)錯誤.

所成夾角為β∈[0,],

cosβ|cosθ|,

夾角為60°時,即α,

|sinθ|,

∵cos2θ+sin2θ=1,∴cosβ|cosθ|

∵β∈[0,],∴β,此時的夾角為60°,

∴(1)正確,(2)錯誤.

故答案為:(1)(3).

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