【題目】已知函數(shù)

(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸正半軸有公共點(diǎn),求的取值范圍;

(2)求證:時(shí),

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

(1)求得fx)的導(dǎo)數(shù),可得切線斜率和切點(diǎn),以及切線方程,可令y0,求得橫坐標(biāo)x,由題意可得x0,解不等式可得所求范圍;

(2)求得f′(x)=ex+a.設(shè)gx)=f′(x)=ex+a.判斷gx)遞減,由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得gx)存在零點(diǎn)x0,

求得fx)≤fx0),求得a,結(jié)合分析法和不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性,即可得證.

解:(1)函數(shù)fx)=lnxex+a的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex+a

曲線fx)在點(diǎn)(1,f1))處的切線斜率為1e1+a,

切點(diǎn)為(1,﹣e1+a),可得切線方程為y+e1+a=(1e1+a)(x1),

可令y0可得x,由題意可得0,

可得e1+a1,解得a<﹣1

(2)證明:f′(x)=ex+a.設(shè)gx)=f′(x)=ex+a

可得g′(x)=﹣(+ex+a),當(dāng)x0時(shí),g′(x)<0,gx)遞減;

a1ex+aex.若ex,gx)<ex0,

當(dāng)0x1時(shí),ex+ae1+a.若e1+a,即xe1a,

故當(dāng)0xe1a時(shí),gx)>0,即gx)=f′(x)有零點(diǎn)x0,

當(dāng)0xx0時(shí),f′(x)>0fx)遞增;當(dāng)xx0時(shí),f′(x)<0,fx)遞減,

可得fx)≤fx0),

fx0)=lnx0ex0+a,又ex0+a

可得fx0)=lnx0,在x00遞增,

alnx0=﹣(lnx0+x0),

a1﹣(lnx0+x0)>1=﹣(ln+),

所以lnx0+x0ln+,由于lnx0+x0遞增,

可得0x0,故fx)≤fx0)<f)=﹣1e

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中國北京世界園藝博覽會期間,某工廠生產(chǎn)、、三種紀(jì)念品,每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種,某一天產(chǎn)量如下表:(單位:個(gè))

紀(jì)念品

紀(jì)念品

紀(jì)念品

精品型

普通型

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取個(gè),其中種紀(jì)念品有個(gè).

1)求的值;

)從種精品型紀(jì)念品中抽取個(gè),其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下:、、、,把這個(gè)數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體,其均值為,方差為,求的值;

3)用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個(gè)容量為的樣木,從樣本中任取個(gè)紀(jì)念品,求至少有個(gè)精品型紀(jì)念品的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn),上一點(diǎn)坐標(biāo)為.

1)求拋物線的方程;

2)過作直線,交拋物線,兩點(diǎn),若直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=,AC=2,∠BAC=A1AC=45°,∠BAA1=60°,F為棱AC的中點(diǎn),E在棱BC上,且BE=2EC

(Ⅰ)求證:A1B∥平面EFC1;

(Ⅱ)求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐中,.

(1)求證:;

(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】越接近高考學(xué)生焦慮程度越強(qiáng),四個(gè)高三學(xué)生中大約有一個(gè)有焦慮癥,經(jīng)有關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查,得出距離高考周數(shù)與焦慮程度對應(yīng)的正常值變化情況如下表周數(shù)

周數(shù)x

6

5

4

3

2

1.

正常值y

55

63

72

80

90

99

其中,,,

1)作出散點(diǎn)圖;

2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回方程(精確到0.01

3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)觀測值為正常值的0.851.06為正常,若1.061.12為輕度焦慮,1.121.20為中度焦慮,1.20及以上為重度焦慮。若為中度焦慮及以上,則要進(jìn)行心理疏導(dǎo)。若一個(gè)學(xué)生在距高考第二周時(shí)觀測值為103,則該學(xué)生是否需要進(jìn)行心理疏導(dǎo)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需要兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( 。

原料限額

(噸)

3

2

10

(噸)

1

2

6

A. 10萬元B. 12萬元C. 13萬元D. 14萬元

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知空間中不同直線mn和不同平面α、β,下面四個(gè)結(jié)論:

①若m、n互為異面直線,mαnα,mβ,nβ,則αβ;

②若mn,mαnβ,則αβ;

③若nα,mα,則nm

④若αβ,mα,nm,則nβ

其中正確的是( 。

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱的所有棱長都是2,平面ABC,D,E分別是AC的中點(diǎn).

求證:平面;

求二面角的余弦值.

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