【題目】定義:如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長,則稱為三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列,如果函數(shù)使得仍為一個三角形”數(shù)列,則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”

1)已知是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,若,是數(shù)列的保三角形函數(shù)”,求的取值范圍;

2)已知數(shù)列的首項為2019是數(shù)列的前項和,且滿足,證明是“三角形”數(shù)列;

3)求證:函數(shù)是數(shù)列1,,的“保三角形函數(shù)”的充要條件是,

【答案】1;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

1)先由條件得是三角形數(shù)列,再利用,是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”,得到,解得的取值范圍;

2)先利用條件求出數(shù)列的通項公式,再證明其滿足“三角形”數(shù)列的定義即可;

3)根據(jù)函數(shù),是數(shù)列1,的“保三角形函數(shù)”,可以得到①1,是三角形數(shù)列,所以,即,②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi),即,③,,是三角形數(shù)列;結論為在利用是單調(diào)遞減函數(shù),就可求出對應的范圍,即可證明.

1)解:顯然,對任意正整數(shù)都成立,即是三角形數(shù)列,

因為,顯然有,

,解得,

所以當時,是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”;

2)證:由,

時,,∴,∴,

時,即,解得,∴,

∴數(shù)列是以2019為首項,以為公比的等比數(shù)列,

,

顯然,因為

所以是“三角形”數(shù)列;

3)證:函數(shù),是數(shù)列1,的“保三角形函數(shù)”,必須滿足三個條件:

1,是三角形數(shù)列,所以,即;

②數(shù)列中的各項必須在定義域內(nèi),即;

,,是三角形數(shù)列,

由于,是單調(diào)遞減函數(shù),所以,解得,

所以函數(shù),是數(shù)列1,,的“保三角形函數(shù)”的充要條件是

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1)如圖建系,求的軌跡方程;

2)記的夾角為,,如何設計的長度,才能確保無論的值為多少,總可以通過設置機器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功?

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所掛重量()(x

1

2

3

5

7

9

彈簧長度()(y

11

12

12

13

14

16

1)請在下圖坐標系中畫出上表所給數(shù)據(jù)的散點圖;

2)若彈簧長度與所掛物體重量之間的關系具有線性相關性,請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程;

3)根據(jù)回歸方程,求掛重量為的物體時彈簧的長度.所求得的長度是彈簧的實際長度嗎?為什么?

注:本題中的計算結果保留小數(shù)點后兩位.

(參考公式:,

(參考數(shù)據(jù):,

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