【題目】長方體中, , 分別是 的中點(diǎn),

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)求證:平面平面;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得二面角,若存在,求的值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ)見解析;(Ⅲ)線段上存在一點(diǎn),使得二面角,且.

【解析】試題分析:(Ⅰ)要證與平面平行,就是要證與平面內(nèi)的一條直線平行,由長方體的特征,過于點(diǎn),可證平行且相等,從而得,得線面平行;

(Ⅱ)要證面面垂直,首先在矩形中,由已知可得,因此再由長方體一性質(zhì)有,從而得與平面垂直,于是有面面垂直;

(Ⅲ)以為原點(diǎn), 、所在直線為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)),從而得,求出二面角的兩個(gè)面的法向量,由法向量的夾角余弦的絕對值為可求得值,從而確定Q點(diǎn)是否存在.

試題解析:

(Ⅰ)證明:過,連接

的中點(diǎn),∴,

又∵中點(diǎn),∴, ,

, 是平行四邊形,

,

在平面內(nèi),∴平面

(Ⅱ)證明:∵平面, 在平面內(nèi),

,

在矩形中, ,

是直角三角形,∴

平面,

在平面內(nèi),∴平面平面

(Ⅲ)解:以為原點(diǎn), 、、所在直線為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系,則 , ,

平面的法向量為,

設(shè),( ),則,

設(shè)平面的法向量為,

,則

∵二面角,

由于,∴,

∴線段上存在一點(diǎn),使得二面角,且

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A. 2 B. C. D.

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907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )

A. B. C. D.

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(1)請補(bǔ)充完整頻率分布直方圖,并估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M;

(2)現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人,記他們的成績分別為.若,則稱此二人為“黃金幫扶組”.試求選出的二人為“黃金幫扶組”的概率

(3)以此樣本的頻率當(dāng)做概率,現(xiàn)隨機(jī)在這所有考生中選出3名學(xué)生,求成績不低于120分的人數(shù)的分布列及期望.

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(Ⅰ)臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如右下表格,在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?

(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率. 現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民,抽取3次,記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過4000元的人數(shù)為. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望和方差.

附:臨界值表

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

隨機(jī)量變

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