橢圓

的左、右焦點分別為F
1(-1,0),F(xiàn)
2(1,0),過F
1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF
2為正三角形,求橢圓的離心率;
(II)若橢圓的離心率滿足

,

為坐標(biāo)原點,求證:

.
(Ⅰ)

;(Ⅱ)見解析.
試題分析:(Ⅰ)由橢圓定義易得

為邊

上的中線,在

中,可得

,即得橢圓的離心率;(Ⅱ)設(shè)

,

,由

,

,先得

,再分兩種情況討論,①是當(dāng)直線

軸垂直時;②是當(dāng)直線

不與

軸垂直時,都證明

,可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由橢圓的定義知

,又

,∴

,即

為邊

上的中線,∴

, 2分
在

中,

則

,∴橢圓的離心率

. 4分
(注:若學(xué)生只寫橢圓的離心率

,沒有過程扣3分)
(Ⅱ)設(shè)

,

因為

,

,所以

6分
①當(dāng)直線

軸垂直時,

,

,

,

=

,因為

,所以

,

恒為鈍角,


. 8分
②當(dāng)直線

不與

軸垂直時,設(shè)直線

的方程為:

,代入

,
整理得:

,

,







10分
令

,由①可知

,

恒為鈍角.,所以恒有

. 12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

的焦點為F
2,點F
1與F
2關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,以F
1,F
2為焦點的橢圓C過點

.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點


,過點F
2作直線

與橢圓C交于A,B兩點,且

,若

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

:

的長軸長為4,且過點

.
(1)求橢圓

的方程;
(2)設(shè)

、

、

是橢圓上的三點,若

,點

為線段

的中點,

、

兩點的坐標(biāo)分別為

、

,求證:

.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

,

為其右焦點,離心率為

.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點

,問是否存在直線

,使

與橢圓

交于

兩點,且

.若存在,求出

的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系

中,橢圓

的右焦點為

,離心率為

.
分別過

,

的兩條弦

,

相交于點

(異于

,

兩點),且

.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線

,

的斜率之和為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知

分別是橢圓

的左右焦點,過

垂直與

軸的直線交橢圓于

兩點,若

是銳角三角形,則橢圓離心率的范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線

的離心率為

,頂點與橢圓

的焦點相同,那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為_____;漸近線方程為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C的方程為

,其離心率為

,經(jīng)過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:

與橢圓C交于A、B兩點,P為橢圓上的點,O為坐標(biāo)原點,且滿足

,求

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

的兩個焦點為

,點

在橢圓

上.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)已知點

,設(shè)點

是橢圓

上任一點,求

的取值范圍.
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