橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標(biāo)原點，求證:.
（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當(dāng)直線軸垂直時；②是當(dāng)直線不與軸垂直時，都證明，可得結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，又，∴，即為邊上的中線，∴,        2分
在中，則，∴橢圓的離心率．       4分
（注：若學(xué)生只寫橢圓的離心率，沒有過程扣3分）
（Ⅱ）設(shè)，因為，，所以    6分
①當(dāng)直線軸垂直時，，，,
=，因為，所以，恒為鈍角，
.         8分
②當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線的方程為：，代入，
整理得：，
，


      10分
令，由①可知，
恒為鈍角.，所以恒有．      12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，以F1,F2為焦點的橢圓C過點.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點，過點F2作直線與橢圓C交于A,B兩點，且，若的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標(biāo)分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓,為其右焦點，離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)若點，問是否存在直線，使與橢圓交于兩點，且．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知分別是橢圓的左右焦點，過垂直與軸的直線交橢圓于兩點，若是銳角三角形，則橢圓離心率的范圍是(   )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線的離心率為，頂點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為_____；漸近線方程為_________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的方程為，其離心率為，經(jīng)過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：與橢圓C交于A、B兩點，P為橢圓上的點，O為坐標(biāo)原點，且滿足，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點為，點在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)已知點，設(shè)點是橢圓上任一點，求的取值范圍.

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