【題目】已知四棱柱中，底面為菱形，，為中點，在平面上的投影為直線與的交點.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見詳解

（2）

【解析】

（1）連接，先證明為平行四邊形，因此平面ABCD，繼而證明平面即得證.

（2）如圖建立空間直角坐標系，計算平面，平面的法向量，利用二面角的向量計算公式，即得解.

（1）

連接，

由于為中點，且，故為中點，

故四邊形為平行四邊形,

由于四棱柱且

故四邊形為平行四邊形,

由于底面為菱形，故，且，

由于，故四邊形為平行四邊形，所以

故：平面ABCD

又平面平面

故平面平面

（2）由（1）BH，BD，兩兩垂直，以B為原點如圖建立空間直角坐標系.

設平面的法向量為，

故，令，故

設平面的法向量為，

故，令，故

由圖像得二面角為銳角，故

故

練習冊系列答案
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