Question

【題目】已知函數，，

（Ⅰ）當，時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當，時，若方程有兩個不同的實數解，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出的導函數，求出函數在時的導數得到切線的斜率，然后用一般式寫出切線的方程；

（Ⅱ）對，都成立，則對，，恒成立，構造函數，求出的最大值可得的范圍；

（Ⅲ）由，得，構造函數，將問題轉化為證明，然后構造函數證明即可.

解：（Ⅰ）當時，時，，∴當時，，

∴，∴當時.

∴曲線在處的切線方程為；

（Ⅱ）當時，對，都成立，則對，恒成立，

令，則.令，則，

∴當，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減，

∴，∴，

∴的取值范圍為；

（Ⅲ）當，時，由，得，

方程有兩個不同的實數解.

令.則..令.則，

∴當時..此時單調遞增；當時..此時單調遞減，

∴，∴，又，，

∴，∴，

∴只要證明，就能得到.即只要證明，

令，則，

∴在上單調減，則，

∴，∴，

∴，∴，即，證畢.