Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結合線面垂直的判定可得平面；

（2）以點為坐標原點，以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）證明：底面為菱形，，

底面，平面，

又，平面，

平面；

（2）解：，，為等邊三角形，

.

底面，是直線與平面所成的角為，

在中，由，解得.

如圖，以點為坐標原點，以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸

建立空間直角坐標系.

則，，，，.

，，，.

設平面與平面的一個法向量分別為，.

由，取，得；

由，取，得.

.

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.