【題目】已知A是拋物線Ey22px(p>0)上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x1M,N兩點.

1)若|MN|2,求拋物線E的方程;

2)若0p1,拋物線E與圓(x5)2+y2=9x軸上方的交點為PQ,點GPQ的中點,O為坐標原點,求直線OG斜率的取值范圍.

【答案】1.2

【解析】

1)設(shè)A的坐標為Ax0,y0),由題意可得圓心C的坐標,求出C到直線x1的距離.由半個弦長,圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值,進而求出拋物線的方程;

2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達定理,進而求出中點G的坐標,再求出直線OG的斜率的表達式,換元可得斜率的取值范圍.

1)設(shè)Ax0,y0)且y022px0,則圓心C),

C的直徑|AB|

圓心C到直線x1的距離d|1|||

因為|MN|2,所以(2+d2=(2,即1,y022px0,

整理可得(2p4x00,所以p2

所以拋物線的方程為:y24x;

2)聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x225px+160,△>0

設(shè)Px1y1),Qx2,y2),則x1+x225p),x1x216

所以中點G的橫坐標xG5p,yG,

所以kOG0P1),

t5pt∈(45)),則kOG),

解得0kOG,

所以直線OG斜率的取值范圍(0,.

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