【題目】已知函數f(x)=lnx+a(x﹣1)2,其中a>0.
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)討論函數f(x)的單調性;
(3)若函數f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,求證: .
【答案】(1)切線方程:y=x﹣1,(2)見解析,(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)當a=1時,求出f(1),然后得到取得坐標,求出函數的導數,求出切線的斜率,然后求解切線方程;(2)求出函數的導數,通過a的討論,判斷導函數的符號,然后求解函數f(x)的單調性;(3)利用函數的極值點以及函數的單調性,轉化證明即可.
(1)當a=1時,f(1)=0,f′(x)=+2(x﹣1),f′(1)=1,
曲線y=f(x)在點(1,0)處的切線方程:y=x﹣1.
(2)∵f(x)=lnx+ax2﹣2ax+a (x>0)
①當△=4a2﹣8a≤0即0<a≤2時,f′(x)>0,
∴f(x)的單調遞增區(qū)間是(0.+∞).
②當△=4a2﹣8a>0時,即a>2時,令f′(x)=0得 .
∴f(x)的單調遞增區(qū)間是(x2,+∞)和(0,x1),單調遞減區(qū)間是(x1,x2).
(3)證明:∵f(x)在(x2,+∞)單調遞增,且x2<1,
∴f(x2)<f(1)=0,不等式右側證畢!
∵f(x)有兩個極值點x1,x2,∴a>2.故 ,
令 ,
∴g(x)在( )單調遞增. 故
不等式左側證畢.綜上可知: .
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標系與參數方程]
已知直線l的參數方程為(t為參數),曲線C的參數方程為(θ為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點P的極坐標為。
(Ⅰ)求直線l以及曲線C的極坐標方程;
(Ⅱ)設直線l與曲線C交于A,B兩點,求△PAB的面積。
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列四個結論,其中正確的個數為( ). ①已 ,則
②過原點作曲線 的切線,則切線方程為 (其中e為自然對數的底數);
③已知隨機變 ,則
④已知n為正偶數,用數學歸納法證明等式 時,若假設 時,命題為真,則還需利用歸納假設再證明 時等式成立,即可證明等式對一切正偶數n都成立.
⑤在回歸分析中,常用 來刻畫回歸效果,在線性回歸模型中, 表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率 越接近1,表示回歸的效果越好.
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線的參數方程為;曲線的極坐標方程為;曲線的參數方程為(為參數).
(1)求直線的直角坐標方程、曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程;
(2)若直線與曲線曲線在第一象限的交點分別為,求之間的距離.
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