【題目】已知函數(shù) .
(1)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:不等式對(duì)于x∈(1,2)恒成立.
【答案】解:(1).
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0,在上單調(diào)遞減; x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a).
(2)證明:要證,即證lnx>
設(shè)g(x)=lnx﹣,∴g′(x)=﹣>0x∈(1,2)恒成立,
∴g(x)min>g(1)=0,∴g(x)>0,
即.
【解析】(1)函數(shù)的定義域是(0,+∞),求出導(dǎo)數(shù),分a≤0和a>0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),得到單調(diào)區(qū)間.
(2)將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為g(x)>0在區(qū)間(1,2)上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最小值,
只要最小值大于0即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某海面上有、、三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì)),島在島的北偏東方向處,島在島的正東方向處.
(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的正東方向?yàn)?/span>軸正方向,為單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,寫出、的坐標(biāo),并求、兩島之間的距離;
(2)已知在經(jīng)過(guò)、、三個(gè)點(diǎn)的圓形區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島處,正沿著北偏東行駛,若不改變方向,試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為6,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若,
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中,能否找到一個(gè)代數(shù)式,滿足所求式?若能,請(qǐng)直接寫出該代數(shù)式;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,對(duì)角線,交于點(diǎn).
(Ⅰ)若,求證:平面;
(Ⅱ)若平面平面,求證:;
(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得平面?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,四邊形為矩形,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出莖葉圖如圖.記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”.
(1)在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中,從不低于86分的成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè),求抽出的2個(gè)均“成績(jī)優(yōu)秀”的概率;
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為:“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).
0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | |
0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將3本相同的小說(shuō),2本相同的詩(shī)集全部分給4名同學(xué),每名同學(xué)至少1本,則不同的分法有( )
A. 24種 B. 28種 C. 32種 D. 36種
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