Question

已知橢圓的離心率為，為橢圓的左右焦點(diǎn)，；分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)(如圖) .若四邊形的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程.
（Ⅱ）拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作一條直線，交拋物線于兩點(diǎn). 證明：以為直徑的所有圓是否過(guò)拋物線上一定點(diǎn).

Answer 1

解：(1)根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為,

由已知,,則，又,
，   ，所求的橢圓方程為.  ….…6分
(2) 根據(jù)題意知拋物線方程為: ，設(shè)滿足題意的點(diǎn)為，
設(shè)其中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823202847905396.png" style="vertical-align:middle;" />是直徑，所以，
  ，
整理為：  …… ……（※）
同時(shí)，
整理為： 代入點(diǎn)得：
即有：,將其代入（※）式中整理為：
顯然時(shí)上式恒成立, 進(jìn)而算得，所以為定點(diǎn)，從而說(shuō)明滿足題意的存在為.  當(dāng)直線垂直于軸時(shí),易求得以為直徑的圓為，同樣可檢驗(yàn)其經(jīng)過(guò).                 ….…15分
方法二：（2）設(shè)設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立消有,
，
以AB為直徑的圓的方程為，即
，代入，有
，
即，
令. ……15分

略