Question

已知點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動(dòng)點(diǎn)A到點(diǎn)F₁的距離是2，線段AF₂的中垂線l交AF₁于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)A變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₁、F₂分別作互相垂直的兩條直線分別與軌跡G交于點(diǎn)D、E和點(diǎn)M、N，試求四邊形DMEN的面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，|PA|+|PF₁|=2，及|PA|=|PF₂|，從而有|PF₁|+|PF₂|=2，由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡G的方程
（2）分別考慮求解：當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，四邊形DMEN的面積為=4，；當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也有四邊形DMEN的面積為=4；當(dāng)直線DE，MN與x軸均不垂直時(shí)，設(shè)直線DE的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，y₂），則根據(jù)|x₁-x₂|==，
可求|DE|=|x₁-x₂|=．，進(jìn)而有四邊形DMEN的面積•=，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式可求面積的最值
解答：解：（1）如圖，|AF₁|=2，
∴|PA|+|PF₁|=2，
又∵|PA|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=2，
由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡G的方程為+=1．
（2）當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，|DE|=，
此時(shí)|MN|=2，四邊形DMEN的面積為
=4，同理，當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也有四邊形DMEN的面積為=4．
當(dāng)直線DE，MN與x軸均不垂直時(shí)，設(shè)直線DE的方程為
y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，消去y，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，y₂），
則∴|x₁-x₂|==，
∴|DE|=|x₁-x₂|=．
同理，
∴四邊形DMEN的面積•=
令，得s=

∵∴當(dāng)k=±1時(shí)，u=2，且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)，所以
綜上可知，四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了曲線的軌跡方程的求解及直線與曲線的位置關(guān)系的求解，求解圓錐曲線的方程時(shí)的關(guān)鍵是靈活的應(yīng)用橢圓的定義，而 處理直線與曲線的位置時(shí)的關(guān)鍵是要設(shè)直線方程，容易漏洞對(duì)斜率的存在的討論